灰度图像--频域滤波傅里叶变换之傅里叶级数

学习DIP第18天

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0.开篇废话

废话开始，故事是这样的，当我上大学的时候，学过信号与系统，当时已经学了高的数学，也知道了傅里叶变换的公式，但是，公式是怎么来的，有什么用，不清楚，学信号与系统的时候，知道傅里叶用在什么地方，但是不清楚为什么可以用在这些地方，书中的记忆是：傅里叶变换或者其家族的变换，主要目的是把信号转换到频域，然后巴拉巴拉巴拉。。。其实事情确实是像书中描述的那个样子，但是，可以完全换一种能让人接受的方式告诉大家，可是写书的人不肯，于是苦了看书的人。

知乎上有一篇文章叫做“傅里叶分析之掐死教程（完整版）”大家可以自行搜索，正片文章没什么数学推导，完全从感性上介绍了傅里叶变换，有很多图，还有动图，可以供大家理解，但感性过后应该从数学的角度理性的思考傅里叶变换家族，对于图像处理，傅里叶是必须要使用和掌握的工具，而图像处理又是出自信号处理，所以我选择看奥本海姆的《信号与系统》，从中重新理解下傅里叶变换家族。

这一篇，我们从最简单的傅里叶级数开始讲起。大概的知识结构如下图：

1.傅里叶级数

傅里叶级数应该是由很多人提出来的，但大家都只是用到了类似的结构，但是没有系统的证明，其实傅里叶也没证明，他只是把傅里叶级数正式的用到了他的研究中，后来一群人前赴后继的证明出了一个有一个的傅里叶级数的准确性和存在条件，于是傅里叶级数和后续的傅里叶变换才开始推动人类进步。

1.0信号分解

研究信号的人都有这样一种经历，有个信号摆在你面前，乱七八糟一堆东西，你根本就不知道那是个什么东西，拿一个简单的周期信号来说：

这样一坨信号f(t)，一般人看不出来什么信息，周期可以看出来，但是别的基本看不出什么，但如果将这个周期信号分解来看，那么信号是由sin(t)，cos(t)，sin(2t)，cos(2t)，sin(3t)，cos(3t)，sin(4t)，cos(4t)组合出来的（称为基），有了这些，我们可以很容易的预测未来某个时刻信号的准确值，这些三角函数的性质，组成了完整信号的性质。

将大的，复杂的东西分解成小的，简单的东西，便于理解和掌握，这是一类信号问题的研究方法，于是，产生了信号分解这样一个分支。

1.1目标信号

一个信号可以分解成无数种其他信号的组合，但是哪一种是我们需要的，这需要我们人为的加入一些控制目标性质

性质1：由这些基本信号可以构成相当广泛的一类有用的信号

性质2：线性时不变系统对每一个基本信号的响应应该十分简单，以使系统对任意输入信号的响应有一个方便的表示式

1.2正交性

其实除了上面两点性质，正交性也是一个重要的性质，对于一个向量，其具有基向量，基向量如果是正交的，那么其相关性为0，也就是说由基向量组成的一个向量，各个基向量是互不相关的，在简单的二维笛卡尔坐标系中，向量（a，b），其中两组基为（1，0）和（0，1）其正交，因为其垂直，或者内积为0都能证明其正交，a，b的值对彼此都没有影响。

函数正交的含义：如果两个函数ψ1(r)和ψ2(r)满足条件：∫ψ1(r)*ψ2(r)dτ=0，则称这两个函数相互正交。

官方的解释：“正交性”是从几何中借来的术语。如果两条直线相交成直角，他们就是正交的。用向量术语来说，这两条直线互不依赖。沿着某一条直线移动，该直线投影到另一条直线上的位置不变，该术语还用于表示某种不相依赖性或者解耦性。如果两个或者更多事物种的一个发生变化，不会影响其他事物。这些事物就是正交的。

将信号分解成一组信号的组合，而且这组信号内任意两个之间都是正交的，那么其中每个基保存的信息互不影响。