1.数学老师的报复
(attack.pas/c/cpp)
【问题描述】
11 班数学大佬 YXN 又在上数学课的时候把班主任 MP6 的错误当众挑出来了,MP6 再一
次感到很难堪,于是决定报复 YXN
MP6 对 YXN 说:给你一个函数 f(x),定义如下:
f ( 1 ) = 1
f ( 2 ) = 1
f ( n ) = ( A * f ( n - 1 ) + B * f ( n - 2 ) ) mod 7。
YXN 说这还不简单,可以秒杀!
MP6 微微笑了笑说:n 等于 100 你算得出来,那 n 等于 2147483648 呢?
YXN 哑口无言,决定向信息组的你求助。由于这是你唯一一次可以在数学题上秒杀 YXN，
你决定好好把握这一次机会。
【输入】
仅一行包含 3 个整数 A,B 和 n。
【输出】
一个整数,即 f ( n ) 的值。
【输入输出样例】
样例 1 样例 2
attack.in attack.out attack.in attack.out
1 1 3
2
1 2 10
5
【数据说明】
20%的数据, n≤1,000
50%的数据, n≤100,000,000
100%的数据,n≤2147,483,648
思路 ：矩阵快速幂加速加速
转置矩阵为 A 1
B 0
跑快速幂就好了
但是我一开始是骗分做的
因为 7 是一个很小的数 它的循环节不会很长
每次找出循环节的长度即可。
1 #include<bits/stdc++.h>
2 #define ll long long
3 using namespace std;
4 ll n,aa,bb;
5 struct matrix{
6 ll a[2][2];
7 matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
8 matrix(ll b[2][2]) {for(int i=0;i<2;i++)for(int j=0;j<2;j++)a[i][j]=b[i][j];}
9 matrix operator * (matrix b)
10 {
11 matrix ans;
12 for(int i=0;i<2;i++)
13 for(int j=0;j<2;j++)
14 for(int k=0;k<2;k++)
15 ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j])%7;
16 ans.a[0][0]%=7;
17 return ans;
18 }
19 }S,T;
20
21 inline ll read()
22 {
23 ll x=0,f=1;char c=getchar();
24 while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();}
25 while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();}
26 return x*f;
27 }
28
29 int main()
30 {
31 freopen("attack.in","r",stdin);
32 freopen("attack.out","w",stdout);
33 while(scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&n)!=EOF)
34 {
35 n-=2;
36 if(n==-1) {printf("1");return 0;}
37 ll temp[2][2]={{aa,1},{bb,0}}; T=temp;
38 ll temp2[2][2]={{1,1},{0,0}}; S=temp2;
39 while(n)
40 {
41 if(n&1) S=S*T;
42 T=T*T;
43 n>>=1;
44 }
45 S.a[0][0]%=7;
46 printf("%lld",S.a[0][0]);
47 }
48 return 0;
49 }
矩阵
1 #include <cctype>
2 #include <cstdio>
3
4 const int MAXN = 100010;
5
6 typedef long long LL;
7
8 int A, B;
9
10 LL n;
11
12 inline void read(int&x) {
13 int f = 1; register char c = getchar();
14 for(x = 0; !isdigit(c); c == ‘-‘&&(f = -1), c=getchar());
15 for(; isdigit(c); x = x * 10 + c - 48, c = getchar());
16 x = x * f;
17 }
18
19 inline void read(LL&x) {
20 int f = 1; register char c = getchar();
21 for(x = 0; !isdigit(c); c == ‘-‘&&(f = -1), c=getchar());
22 for(; isdigit(c); x = x * 10 + c - 48, c = getchar());
23 x = x * f;
24 }
25
26 namespace stepone {
27 int F[1010];
28 inline void vinlince() {
29 F[1] = 1; F[2] = 1;
30 for(int i = 3; i <= n; ++i)
31 F[i] = (A * F[i - 1] + B * F[i - 2]) % 7;
32 printf("%d\n", F[n]);
33 return;
34 }
35 }
36
37 namespace steptwo {
38 int F[1010], pos;
39 inline void vinlince() {
40 if(A % 7 ==0) {
41 if(n >= 3) printf("0\n");
42 else printf("1\n");
43 return;
44 }
45 F[1] = 1; F[2] = 1;
46 for(int i = 3; i <= 1010; ++i) {
47 F[i] = (A * F[i - 1] + B * F[i - 2]) % 7;
48 if(F[i] == 1) {
49 pos = i;
50 break;
51 }
52 }
53 pos -= 2; --n;
54 n %= pos;
55 if(n == 0) n = pos;
56 printf("%d\n", F[n + 1]);
57 return;
58 }
59 }
60
61 namespace stepthree {
62 int F[1010], pos;
63 inline void hhh() {
64 F[1] = 1; F[2] = 1;
65 for(int i = 3; i <= 1010; ++i) {
66 F[i] = (A * F[i - 1] + B * F[i - 2]) % 7;
67 if(F[i] == 1 && F[i - 1] == 1) {
68 pos = i - 1;
69 break;
70 }
71 }
72 --pos;
73 n %= pos;
74 if(n == 0) n = pos;
75 printf("%d\n", F[n]);
76 return;
77 }
78 }
79
80 int main(int argc,char**argv) {
81 freopen("attack.in", "r", stdin);
82 freopen("attack.out", "w", stdout);
83
84 read(A), read(B), read(n);
85 if(n <= 1000) stepone::vinlince();
86 else if(B % 7 == 0) steptwo::vinlince();
87 else stepthree::hhh();
88
89 return 0;
90 }
规律
2.物理和生物老师的战争
(fseq.pas/c/cpp)
【问题描述】
物。万物也。牛为大物。牛为物之大者。故物从牛。与半同意。天地之数起於牵
牛。戴先生原象曰。牵牛为纪首。命曰星纪。自周而上。日月之行不起於；牵牛也。按许说
物从牛之故。又广其义如此。故从牛。勿声。文弗切。十五部。
总之，物理老师和生物老师因为“物”而吵了起来，物理老师认为，物理是万物之
源， 而生物老师认为生物才是万物之源。 所以物理学科带头人和生物学科带头人号召了所有
物理、生物老师，进行战斗。
战斗开始前他们需要排队，有 n 个物理老师和 m 个生物老师站在一起排成一列，
过安检进入打斗场。物理老师是一个神奇的物种，他们十分严谨，在开始之前就分析过：如
果在任意某一个人往前数（包括这个人） ，生物老师的数量超过了物理老师，根据牛顿三大
定律以及开普勒三大定律，这样风水是不太好的。这时候，物理老师就会引爆核弹。为了构
建社会主义和谐社会，你决定避免这一场核战的发生。所以，请你计算不会引发核弹爆炸的
排队方案的概率。 （排队方案不同定义为当且仅当某一位老师不一样，注意不是老师所教的
科目不一样。eg：物 A 物 B，物 B 物 A，是不同的方案）
【输入】
第一行，Test , 表示测试数据的组数。
每个数据 有两个数 N,M
【 输出】
对于每组数据,输出一个实数（保留到小数点后 6 位,）
【输入输出样例 1】
fseq.in fseq.out 样例说明：
3
1 0
0 1
1 1
1.000000
0.000000
0.500000
第一行：只有一个物理老师，一种方案且可行
第二行：只有一个生物老师，一种方案且不可行
第三行：两种方案 ① 理、生 可行
② 生、理 不可行 可行概率为 0.5
【数据范围】
30%的数据：(Test<=10),(0<=N,M<=1000).
100%的数据：(Test<=9008 )，( 0<=N,M<=20000 ).
思路：卡特兰数应用 组合数学 进栈为题
大家 可以去 这里看一下 讲的听好的
方案数 为 C(m!, (n+m)!) - C((m-1)!, (n+m)!)
可以化出 (m+n)!/m!*n! *(1-m/(n+1))
整个式子表示可行方案数 那后面的不就是可行的概率了么。。
1 #include <map>
2 #include <cstdio>
3 #include <cctype>
4 #define min(x,y) ((x) < (y) ? (x) : (y))
5
6 const int MAXN = 5010;
7
8 int T, n, m;
9
10 inline void read(int&x) {
11 int f = 1; register char c = getchar();
12 for(x = 0; !isdigit(c); c == ‘-‘&&(f = -1), c=getchar());
13 for(; isdigit(c); x = x * 10 + c - 48, c = getchar());
14 x = x * f;
15 }
16
17 int main(int argc,char**argv) {
18 freopen("fseq.in", "r", stdin);
19 freopen("fseq.out", "w", stdout);
20
21 read(T);
22 while(T--) {
23 read(n);read(m);
24 if(n < m) printf("0.000000\n");
25 else printf("%.6lf\n",1.0-(m*1.0/(n + 1.0)));
26 }
27 return 0;
28 }
代码
3.化学竞赛的大奖
(prize.pas/c/cpp)
【问题描述】
XYX 在 CChO(全国化学奥林匹克竞赛)比赛中获得了大奖，奖品是一张特殊的机票。
使用这张机票，可以在任意一个国家内的任意城市之间的免费飞行，只有跨国飞行时才
会有额外的费用。XYX 获得了一张地图，地图上有城市之间的飞机航班和费用。已知从
每个城市出发能到达所有城市，两个城市之间可能有不止一个航班。一个国家内的每两
个城市之间一定有不止一条飞行路线， 而两个国家的城市之间只 有一条飞行路线。 XYX
想知道， 从每个城市出发到额外费用最大的城市， 以便估算出出行的费用， 请你帮助他。
当然，你不能通过乘坐多次一个航班增加额外费用， 也就是必须沿费用最少的路线飞
行。
【输入】
第一行，两个整数 N,M，表示地图上有 N 个城市，M 条航线。
接下来 M 行，每行三个整数 a,b,c，表示城市 a,b 之间有一条费用为 c 的航线。
【 输出】
共 N 行，第 i 行为从城市 i 出发到达每个城市额外费用的最大值。
【输入输出样例 1】
score.in score.out 样例说明：
6 6
1 4 2
1 2 6
2 5 3
2 3 7
6 3 4
3 1 8
4
4
4
6
7
7
有四个国家，包含的城市分别为 {1,2,3},{4},{5},{6}。
从城市 1 出发到达城市 6，乘坐(1,3)(3,6)两个航班费用最大，
(1,3)在国内为免费航班，(3,6)的费用为 4，所以从 1 出发的最
大费用为 4。
【数据范围】
对于 40%的数据 1<=N<=1000,1<=M<=1000
对于 100%的数据 1<=N<=20000,1<=M<=200000
思路 ：首先 Tarjan 缩点
建新图 新图一定为 树
求一点能到达的点的路径权值和最大
跑 三遍DFS 或 用树形Dp即可
1 #include <vector>
2 #include <cstdio>
3 #include <cctype>
4 #include <cstring>
5 #define max(x,y) ((x) < (y) ? (y) : (x))
6 #define min(x,y) ((x) < (y) ? (x) : (y))
7
8 const int MAXN = 20010;
9
10 int n, m, inr, top, tot;
11
12 int dfn[MAXN], low[MAXN], stack[MAXN << 1], col[MAXN], x[200010], y[200010], z[200010];
13
14 int q[MAXN<<2], dis[MAXN], _dis[MAXN];
15
16 std::vector<int> Graph[MAXN];
17
18 bool vis[MAXN];
19
20 struct node {
21 int to, val;
22 node(){}
23 node(int to, int val):to(to), val(val){}
24 };
25
26 std::vector<node> New[MAXN];
27
28 inline void read(int&x) {
29 int f = 1; register char c = getchar();
30 for(x = 0; !isdigit(c); c == ‘-‘&&(f = -1), c=getchar());
31 for(; isdigit(c); x = x * 10 + c - 48, c = getchar());
32 x = x * f;
33 }
34
35 namespace Tarjan {
36
37 void tarjan(int u, int fa) {
38 dfn[u] = low[u] = ++inr;
39 stack[++top] = u;
40 vis[u] = true;
41 for(int i = 0; i <Graph[u].size(); ++i) {
42 int v = Graph[u][i];
43 if(v == fa) continue;
44 if(!dfn[v]) {
45 tarjan(v, u);
46 low[u] = min(low[u], low[v]);
47 }
48 else if(vis[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]);
49 }
50
51 if(dfn[u] == low[u]) {
52 ++tot;
53 int t;
54 do {
55 t = stack[top--];
56 vis[t] = false;
57 col[t] = tot;
58 }while(u != t);
59 }
60 return;
61 }
62
63 void Pre() {
64 for(int i = 1; i <= m; ++i) {
65 read(x[i]); read(y[i]); read(z[i]);
66 Graph[x[i]].push_back(y[i]);
67 Graph[y[i]].push_back(x[i]);
68 }
69
70 for(int i = 1; i <= n; ++i)
71 if(!dfn[i]) tarjan(i, -1);
72 return;
73 }
74 }
75
76 namespace _next {
77 int Max, root;
78
79 void DFS(int u,int fa) {
80 for(int i = 0; i < New[u].size(); ++i) {
81 int v = New[u][i].to;
82 if(v == fa) continue;
83 dis[v] = dis[u] + New[u][i].val;
84 if(dis[v] > Max) Max = dis[v], root = v;
85 DFS(v, u);
86 }
87 return;
88 }
89
90 void _DFS(int u,int fa) {
91 for(int i = 0; i < New[u].size(); ++i) {
92 int v = New[u][i].to;
93 if(v == fa) continue;
94 _dis[v] = _dis[u] + New[u][i].val;
95 _DFS(v, u);
96 }
97 return;
98 }
99
100 void hhh() {
101
102 for(int i = 1; i <= m; ++i) {
103 if(col[x[i]] != col[y[i]]) {
104 New[col[x[i]]].push_back(node(col[y[i]], z[i]));
105 New[col[y[i]]].push_back(node(col[x[i]], z[i]));
106 }
107 }
108
109 DFS(1,-1);
110 Max = 0;
111 memset(dis, 0, sizeof dis);
112 DFS(root, -1);
113 _DFS(root, -1);
114
115 for(int i = 1; i <= n; ++i)
116 printf("%d\n", max(dis[col[i]], _dis[col[i]]));
117 return;
118 }
119 }
120
121 int main(int argc,char**argv) {
122 freopen("prize.in", "r", stdin);
123 freopen("prize.out", "w", stdout);
124
125 read(n), read(m);
126 Tarjan::Pre();
127 _next::hhh();
128
129 return 0;
130 }
代码