1.梯度消失（vanishing gradient problem）：
原因：例如三个隐层、单神经元网络：
假设上面是一个三层hidden layer的神经网络，每一层只有一个neuron，我们下面的分析仅仅针对bias，w也是可以类比的。
C是损失函数。
每一层的输入为z，输出为a，其中有z = w*a + b。
上面的等式∂c/∂b1由每一层的导数乘上对应的w最后乘上∂c/∂a4组成。
我们给b1一个小的改变Δb1，它会在神经网络中起连锁反应，影响最后的C。
我们使用变化率∂c/∂b1～Δc/Δb1来估计梯度。接下来可以进行递推了。
先来计算Δb1对a1的影响。σ(z)为sigmoid函数。
结果正好是上面∂c/∂b1等式的第一项，然后影响下一层的输出。
将上面推导出来的两个式子联合起来，就得到b1对于z2的影响：
再和∂c/∂b1等式对比一下，惊喜！！
然后的推导就是完全一样了，每个neuron的导数，乘上w，最终得到C的变化量：
两边除以Δb1：
sigmoid导数图像：
sigmoid导数在0取得最大值1/4。
如果我们使用均值为0，方差为1的高斯分布初始化参数w，有|w| < 1,所以有：
可以看出随着网络层数的加深的term也会变多，最后的乘积会指数级衰减，
这就是梯度弥散的根本原因。
而有人要问在train的时候如果参数w变得足够大，就可能使|w|>1,就不满足了。
的确这样不会有梯度弥散问题，根据我们之前的分析，当|W|>1时，会使后面的layer参数指数级增加，从而引发梯度爆炸。
2.梯度爆炸（exploding gradient problem）：
当权值过大，前面层比后面层梯度变化更快，会引起梯度爆炸问题。
3.sigmoid时，消失和爆炸哪个更易发生？
量化分析梯度爆炸出现时a的树枝范围：因为sigmoid导数最大为1/4，故只有当abs(w)>4时才可能出现
由此计算出a的数值变化范围很小，仅仅在此窄范围内会出现梯度爆炸问题。而最普遍发生的是梯度消失问题。
4.如何解决梯度消失和梯度爆炸？
使用ReLU,maxout等替代sigmoid。
区别：（1）sigmoid函数值在[0,1],ReLU函数值在[0,+无穷]，所以sigmoid函数可以描述概率，ReLU适合用来描述实数；（2）sigmoid函数的梯度随着x的增大或减小和消失，而ReLU不会。