4247 奇特的生物
题目描述 Description
科学家们最近发现了一种奇怪的生物,它们每天长大一岁,刚出生的宝宝为1岁,且它们的年龄没有上限。已知年龄为1 岁,2岁,3岁,……,k岁的个体具有生育能力,当年龄为i的具有生育能力的个体将长大一岁时会生下ai个1岁的幼崽。假设第一天只有一个年龄为1的幼 崽,现在科学家们想知道第x天年龄为y的个体有多少,但由于该物种增长速度太快,于是他们将这个任务交给了你。由于这个数可能很大,你需要对p取模。
输入描述 Input Description
输入数据第一行给定四个整数k,x,y,p。
第二行包括k个整数,第i个整数代表ai。
输出描述 Output Description
输出数据包含一行,表示第x天年龄为y的个体的数量对p取模后的结果。
样例输入 Sample Input
【样例输入 1】
3 3 1 1007
1 1 1
【样例输入 2】
3 6 2 1007
1 2 1
样例输出 Sample Output
【样例输出1】
2
【样例输出 2】
13
数据范围及提示 Data Size & Hint
【思路】
矩阵乘法。
可以总结出题目所述的转换规则如下：
|F1,F2,F3…Fk| => |a1*F1+a2*F2+…ak*Fk , F1,F2,…Fk-1|
原矩阵A：
|1,0,0,…0|
转换矩阵T：
|a1,1,0,0…|
|a2,0,1,0…|
|.. , ..,..1…|
|ak,0,0 0…|
分类讨论（标号从0开始）：
如果y>x 转移不到数目为0
否则
如果y<=k A=A*(T^(x-1))输出A[0][y-1]
否则
A=A*(T^(x-y+k)) 输出A[0][k-1]
（注意到只要是年龄比k大数目就不会发生变化，所以只要把y所对应的计算到k-1即可）
又：其实只要是1岁以后数目都不会发生变化，上述麻烦了。
【代码】
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 using namespace std;
4
5 typedef long long LL;
6 const int maxn = 30+5;
7 LL k,x,y,m;
8 LL a[maxn];
9
10 LL multi( LL y , LL cnt ) {
11 if ( ! cnt ) return 0 ;
12 if ( cnt == 1 ) return y % m ;
13 LL rec = multi( y , cnt / 2 ) ;
14 rec = ( rec + rec ) % m ;
15 if ( cnt % 2 ) rec = ( rec + y ) % m ;
16 return rec ;
17 }
18 struct Matrix{
19 int r,c;
20 LL N[maxn][maxn];
21 void init(int r,int c) {
22 this->r=r, this->c=c;
23 memset(N,0,sizeof(N));
24 }
25 Matrix operator*(Matrix& B)const{
26 Matrix C;
27 C.init(r,B.c);
28 for(int i=0;i<C.r;i++)
29 for(int j=0;j<C.c;j++)
30 {
31 for(int k=0;k<c;k++) C.N[i][j] += multi(N[i][k],B.N[k][j]);
32 C.N[i][j]%=m;
33 }
34 return C;
35 }
36 Matrix pow(LL p) {
37 Matrix tmp=*this;
38 Matrix ans;
39 ans.init(r,r);
40 for(int i=0;i<r;i++) ans.N[i][i]=1;
41 while(p) {
42 if(p&1) ans=ans*tmp;
43 tmp=tmp*tmp;
44 p>>=1;
45 }
46 return ans;
47 }
48 }A,T;
49
50 int main() {
51 scanf("%lld%lld%lld%lld",&k,&x,&y,&m);
52 for(int i=0;i<k;i++) scanf("%lld",&a[i]);
53 if(y>x) {
54 printf("0");
55 return 0;
56 }
57 A.init(1,k);
58 A.N[0][0]=1;
59 T.init(k,k);
60 for(int i=0;i<k;i++) T.N[i][0]=a[i];
61 for(int i=1;i<k;i++) T.N[i-1][i]=1;
62 if(y<=k)
63 {
64 T=T.pow(x-1);
65 A=A*T;
66 printf("%lld ",A.N[0][y-1]);
67 }else {
68 x=x-y+k;
69 T=T.pow(x-1);
70 A=A*T;
71 printf("%lld",A.N[0][k-1]);
72 }
73 return 0;
74 }