二补数
二补数（2‘s complement）是一种用二进制表示有号数的方法，也是一种将数字的正负号变号的方式，常在计算机科学中使用。在中国大陆称作补码，台湾和香港称为二补数。
一个数字的二补数就是将该数字作比特反相运算（即一补数或反码），再将结果加 1。在二补数系统中，一个负数就是用其对应正数的二补数来表示。
二补数系统的最大优点是可以在加法或减法处理中，不需因为数字的正负而使用不同的计算方式。只要一种加法电路就可以处理各种有号数加法，而且减法可以用一个数加上另一个数的二补数来表示，因此只要有加法电路及二补数电路即可完成各种有号数加法及减法，在电路设计上相当方便。
另外，二补数系统的 0 只有一个表示方式，这点和一补数系统不同（在一补数系统中，0 有二种表示方式），因此在判断数字是否为 0 时，只要比较一次即可。
右侧的表是一些 8-bit 二补数系统的整数。它的可表示的范围包括-128到127，总共256 (28)个整数。
数字表示方式
说明
以下用 4 比特的二补数数字来说明二补数系统的数字表示方式。
- 在表示正数和零时，二补数数字和一般二进制一样，唯一的不同是在二补数系统中，正数的最高比特恒为 0，因此4 比特的二补数正数，最大数字为 0111 (7)。
- 二补数数字的负数，最高比特恒为 1，4 比特二补数的数字中，最接近 0 的负数为 1111 (-1)，以此类推，因此绝对值最大的负数是 1000 (-8)。
以上的表示方式在电脑处理时格外方便，用以下的例子说明：
0011 (3) + 1111 (-1) -------------- 10010 (2)
结果 10010 似乎是错的，因为已经超过四个比特，不过若忽略掉（从右数起的）第 5 个比特，结果是 0010 (2)，和我们计算的结果一样。而且若可以将二进制的 0001 (1) 变号为 1111 (-1)，以上的式子也可以计算减法：3-1 = 2。
在 n 比特的二补数加减法中，忽略第 n+1 个比特的作法在各种有号数加法下都适用（不过在判断是否溢出(overflow) 时，仍然会用到第 n+1 个比特）。因此在二补数的系统，加法电路就可以处理有负数的加法，不需另外处理减法的电路。而且，只要有电路负责数字的变号（例如将 1 变换为 -1），也可以用加法电路来处理减法。而数字的变号就用计算数字的二补数来完成。
在一般 n 比特的二进制数字中，最高有效比特(MSB) 第 n 比特代表的数字为 2n−1。不过，在 n 比特的二补数系统中，最高有效比特(MSB) 第 n 比特表示符号比特，若符号比特为 0，数字为正数或 0，若符号比特为 1，数字为负数。以下是 n 比特的二补数系统中，几个特别的数字：
| 二补数 | 实际数字 | 附注 |
|---|---|---|
| 0 111....111 | 2n−1-1 | 最大正数 |
| ... | ... | |
| 0 000....001 | 1 | |
| 0 000....000 | 0 | |
| 1 111....111 | -1 | |
| ... | ... | |
| 1 000....001 | -2n−1+1 | |
| 1 000....000 | -2n−1 | 最小负数 |
因此，在 8 比特的二补数系统中，可以表示的最大正数为 28−1-1 = 127，可以表示最小的负数为 -28−1 = -128
计算二补数
在计算二进制数字的二补数时，会将数字进行比特反相运算，再将结果加 1，不考虑溢出比特（一般情形，溢出比特会为 0），就可以得到该数字的二补数。
以下考虑用有号数 8 比特二进制表示的数字 5：
- 0000 0101 (5)
其最高比特为 0，因为此数字为正数。若要用二补数系统表示 -5，首先要将 5 的二进制进行反相运算〔1 变为 0，0 变为 1 〕：
- 1111 1010
目前的数字是数字 5 的一补数，因此需要再加 1，才是二补数：
- 1111 1011 (-5)
以上就是在二补数系统中 -5 的表示方式。其其最高比特为 1，因为此数字确实为负数。
一个负数的二补数就是其对应的正数。以 -5 为例，先求数字的一补数：
- 0000 0100
再加一就是 -5 的二补数，也就是 5。
- 0000 0101 (5)
简单来说，数字 a (正负数皆可)的二补数即为 -a。
若要计算 n 位数二补数二进制对应的十进制，需要知道每位数对应的数字，除了最高比特外，其他比特的对应数字均和一般二进制相同，即第 i 位数表示数字 2i−1。但最高比特若为 1 时，其表示数字为 -2n−1，因此若用此方式计算 0000 0101 表示的数字，其结果为：
- 1111 1011 (−5) = −128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = (−27 + 26 + ...) = −5
特别的数字
有二个数字的二补数等于本身：一个是 0，另一个为该比特可表示最大绝对值负数（即 1000...000）。
0 的二补数计算方式(以 8 比特为例) 如下：先计算它的一补数：
- 1111 1111
再将一补数加一：
- 0000 0000, 溢出比特 = 1
忽略溢出，其结果为 0（0 是唯一计算二补数过程中会出现溢出的数字。）。因此 0 的二补数为 0。而 0 x (-1) = 0，因此其二补数仍满足“数字 a 的二补数为 -a”的原则。
若计算 1000 0000 （-128、8 比特可表示最大绝对值负数）的二补数：先计算它的一补数：
- 0111 1111
再加一就是它的二补数。
- 1000 0000
1000 0000 (-128)的二补数仍为 1000 0000 (-128)。但 (-128) x (-1) = 128，因此其二补数是以上规则的例外。
其例外原因为因为 8 比特的二补数数字范围为 -128 ~ 127。128 无法以 8 比特的二补数数字表示。在计算其他位数的最大绝对值负数（即 1000...000）时，也会有类似情形。
其他计算方法
方法一
另一种正式计算一数字（以 -N 为例）的二补数 N* 的公式如下：
- N^* = 2^n - N
其中 N* 是 -N 的补数，而 n 是数字 -N 用二进制表示时需要的位数。
以八比特的“-123”为例：
- n = 8
- N = +123(10) = 111 1011(2) （扣除表示正负号的第一个位，实际只有七个位可用）
-123 的二补数计算方式如下：
- 验证
方法二
以另一种较简单的方式，可以找出二进制数字的二补数：
- 先由最低比特开始找。
- 若该比特为 0，将二补数对应比特填 0，继续找下一比特(较高的比特)。
- 若找到第一个为 1 的比特，将二补数对应比特填 1。
- 将其余未转换的比特进行比特反相，将结果填入对应的二补数。
以 0011 1100 为例（图中的 ^ 表示目前转换的数字，-表示还不确定的位数）：
原數字 二补数
0011 1100 ---- ---0 (此位元為 0)
^
0011 1100 ---- --00 (此位元為 0)
^
0011 1100 ---- -100 (找到第 1 個為 1 的位元)
^
0011 1100 1100 0100 (其餘位元直接反相)
^
因此其结果为 1100 0100
符号延展
| 十进制 | 4 比特二补数 | 8 比特二补数 |
|---|---|---|
| 5 | 0101 | 0000 0101 |
| -3 | 1101 | 1111 1101 |
将一个特定比特二补数系统的数字要以较多比特表示时（例如，将一个字节的变量复制到另一个二个字节），所有增加的高比特都要填入原数字的符号比特。在一些微处理机中，有指令可以运行上述的动作。若是没有，需要自行在程序中处理。==>
在二补数系统中，当数字要向右位移几个比特时，在位移后需将符号比特再填入原位置（算术移位），保持符号比特不变。以下是二个例子：
數字 0010 1010 1010 1010 向右位移一次 0001 0101 1101 0101 向右位移二次 0000 1010 1110 1010
而当一个数字要向左位移n个比特时，最低比特填n个 0，权值最高的n个位被抛弃。以下是二个例子：
數字 0010 1010 1010 1010 向左位移一次 0101 0100 0101 0100 向左位移二次 1010 1000 1010 1000
向右位移一次相当于除以 2，利用算术移位的方式可以确保位移后的数字正负号和原数字相同，因为一数字除以 2 后，不会改变其正负号。 注意：向左位移一次相当于乘以2，虽然乘以在理论上并不会改变一个数的符号，但是在二补数系统中，用以表示数的二进制码长度有限，能够表示的数的范围也是有限的：若一个数的高权值上的数位已经被占用，此时再将这个数左移若干位（乘以2n）的话，有可能造成数位溢出（overflow），高权值上的数将会失去，对于绝对值很大数，这将造成整体表达的错误。
二补数的工作原理
为什么二补数能这么巧妙实现了正负数的加减运算？答案是：指定n比特字长，那么就只有2n个可能的值，加减法运算都存在上溢出与下溢出的情况，实际上都等价于模2n的加减法运算。这对于n比特无符号整数类型或是n比特有符号整数类型都同样适用。
例如，8位无符号整数的值的范围是0到255. 因此4+254将上溢出，结果是2，即
。
例如，8位有符号整数的值的范围，如果规定为−128到127, 则126+125将上溢出，结果是−5，即
。
对于8位字长的有符号整数类型，以28即256为模，则
所以模256下的加减法，用0, 1, 2, …, 254,255表示其值，或者用−128, −127,… , −1, 0, 1, 2,… ,127是完全等价的。−128与128，−127与129，…，−2与254，−1与255可以互换而加减法的结果不变。从而，把8位（octet）的 高半部分(即二进制的1000 0000到1111 1111)解释为−128到−1，同样也实现了模256的加减法，而且所需要的CPU加法运算器的电路实现与8位无符号整数并无不同。
实际上对于8比特的存储单元，把它的取值[00000000, …, 11111111]解释为[0, 255], 或者[-1, 254], 或者[-2, 253], 或者[-128, 127], 或者[-200, 55], 甚至或者[500, 755], 对于加法硬件实现并无不同。
运算
加法
二补数系统数字的加法和一般加法相同，而且在运算完成后就可以看出结果的正负号，不需特别的处理。
正数与负数相加不会出现上溢错误，上溢错误只会在两个正数或两个负数相加时发生。
以 15 加 -5 为例：
11111 111 (进位) 0000 1111 (15) + 1111 1011 (-5) ================== 0000 1010 (10)
由于加数和被加数都是 8 比特，因此运算结果也限制在 8 比特内。第 8 比特相加后产生的进位不考虑（因为不存在第 9 比特）的 1 被忽略，所以其结果为 10。而 15 + (-5) = 10，计算结果正确。
在以上计算式中，可以由进位列的最左侧二个比特得知结果是否出现溢出。溢出就是数字的绝对值太大，以致于无法在指定的二进制比特个数来表示（在此例中，是超过 8 比特的范围）。若进位列的最左侧二个比特同为 0 或同为 1，表示结果正确，若是一个为 0，另一个为 1，表示出现溢出错误。也可以对此二个比特进行异或运算，结果为 1 时，表示出现溢出错误。以下以 7 + 3 的 4 比特加法说明溢出错误的情形。
0111 (进位) 0111 (7) + 0011 (3) ============= 1010 (−6) 結果不正確！
在此例中，进位列的最左侧二个比特为 01，因此出现溢出错误。溢出的原因是 7 + 3 的结果 (10) 超过二补数系统 4 比特所可以表示的数字范围 -8~7。