算法设计与分析——多边形游戏(动态规划)

一、问题描述

多边形游戏是一个单人玩的游戏,开始时有一个由n个顶点构成的多边形。每个顶点被赋予一个整数值,每条边被赋予一个运算符“+”或“*”。所有边依次用整数从1到n编号。

  游戏第1步,将一条边删除。

  随后n-1步按以下方式操作:

  (1)选择一条边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2;

  (2)用一个新的顶点取代边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2。将由顶点V1和V2的整数值通过边E上的运算得到的结果赋予新顶点。

  最后,所有边都被删除,游戏结束。游戏的得分就是所剩顶点上的整数值。

  问题:对于给定的多边形,计算最高得分。

如下图:

其实该问题与之前讨论过的凸多边形最优三角剖分问题是类似的,但二者的最优子结构性质却不同。多边形游戏问题的最优子结构性质更具有一般性。

二、算法思路

1、最优子结构性质

设所给的多边形的顶点和边的顺时针序列为op[1],v[1],op[2],v[2],op[3],…,op[n],v[n] 其中,op[i]表示第i条边所对应的运算符,v[i]表示第i个顶点上的数值,i=1~n。
       在所给的多边形中,从顶点i(1<=i<=n)开始,长度为j(链中有j个顶点)的顺时针链p(i,j)可表示为v[i],op[i+1],…,v[i+j-1],如果这条链的最后一次合并运算在op[i+s]处发生(1<=s<=j-1),则可在op[i+s]处将链分割为两个子链p(i,s)和p(i+s,j-s)
    设m[i,j,0]是链p(i,j)合并的最小值,而m[i,j,1]是最大值。若最优合并在op[i+s]处将p(i,j)分为两个长度小于j的子链的最大值和最小值均已计算出。即:
    a=m[i,s,0]  b=m[i,s,1]  c=m[i+s,j-s,0]  d=m[i+s,j-s,1]

(1) 当op[i+s]=’+’时
    m[i,j,0]=a+c ;m[i,j,1]=b+d

   该链的最优性由子链的最优性决定,最大值对应于子链的最大值,最小值对应于子链的最小值。

(2) 当op[i+s]=’*’时
    m[i,j,0]=min{ac,ad,bc,bd} ; m[i,j,1]=max{ac,ad,bc,bd}
   由于v[i]可能取负数,子链的最大值相乘未必能得到主链的最大值,但是注意到,主链的最大值和最小值可以由子链的最大最小值得到。

由于最优断开位置s有1<=s<=j-1的j-1中情况。 初始边界值为 m[i,1,0]=v[i]   1<=i<=n m[i,1,1]=v[i]   1<=i<=n

2、递归求解

可以得到递归表达式,将p(i,j)在op[i+s]处断开的最大值记为maxf(i,j,s),最小值记为minf(i,j,s)则:

因为多变形式封闭的,在上面的计算中,当i+s>n时,顶点i+s实际编号为(i+s)mod n。按上述递推式计算出的m[i,n,1]记为游戏首次删除第i条边后得到的最大得分。

原文地址:https://www.cnblogs.com/wkfvawl/p/11631694.html

时间: 2024-10-08 02:58:39

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