1. AVL 树本质上还是一棵二叉搜索树，它的特点是：
- 本身首先是一棵二叉搜索树。
- 带有平衡条件： 每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子） 最多为 1。
2. 数据结构定义
AVL树节点类：
1 template <typename T>
2 class AVLTreeNode {
3 public:
4 T key;
5 AVLTreeNode<T>* parent;
6 AVLTreeNode<T>* left;
7 AVLTreeNode<T>* right;
8 AVLTreeNode():key(T()), parent(NULL), left(NULL), right(NULL) {}
9 };
AVL树类：
1 template <typename T>
2 class AVLTree {
3 public:
4 AVLTree():root(NIL) {};
5 void inorder_tree_walk(AVLTreeNode<T>* proot); //中序遍历整棵树, 参数为AVL树的根节点
6 int insert_key(const T& k);
7 int delete_key(const T& k);
8 AVLTreeNode<T>* tree_search(const T& k) const; //根据关键字k搜索AVL树，返回对应的节点指针
9 AVLTreeNode<T>* get_root() const;
10 ~AVLTree();
11
12 private:
13 AVLTreeNode<T>* root;
14 static AVLTreeNode<T>* NIL;
15 int getDepth(const AVLTreeNode<T>* pnode) const; //获取以pnode为根节点的树的深度
16 int insert_Key(const T& k, AVLTreeNode<T>* pnode);
17 int delete_key(const T& k, AVLTreeNode<T>* pnode);
18 AVLTreeNode<T>* tree_minimum(AVLTreeNode<T>* pnode); //获取最小值节点（最左边节点）
19 void make_empty(AVLTreeNode<T>* proot);
20 void avl_translate(AVLTreeNode<T>* node_u, AVLTreeNode<T>* node_v);
21 void singleRotateWithL(AVLTreeNode<T>* pnode); //左单旋
22 void singleRotateWithR(AVLTreeNode<T>* pnode); //右单旋
23 void avl_delete_fixup(AVLTreeNode<T>* pnode, int flag); //节点删除后调整AVL树, 使其满足AVL树的性质
24 inline void rotateWithLR(AVLTreeNode<T>* pnode); //先左后右双旋
25 inline void rotateWithRL(AVLTreeNode<T>* pnode); //先右后左双旋
26 };
3. 假设有一个结点的平衡因子为 2（在 AVL 树中， 最大就是 2， 因为结点是一个一个地插入到树中的， 一旦出现不平衡的状态就会立即进行调整， 因此平衡因子最大不可能超过 2），那么就需要进行调整。由于任意一个结点最多只有两个儿子，所以当高度不平衡时，只可能是以下四种情况造成的：
- 对该结点的左儿子的左子树进行了一次插入。
- 对该结点的左儿子的右子树进行了一次插入。
- 对该结点的右儿子的左子树进行了一次插入。
- 对该结点的右儿子的右子树进行了一次插入。
情况 1 和 4 是关于该点的镜像对称，同样，情况 2 和 3 也是一对镜像对称。因此，理论上只有两种情况，当然了，从编程的角度来看还是四种情况。第一种情况是插入发生在“外边” 的情况（即左-左的情况或右-右的情况），该情况可以通过对树的一次单旋转来完成调整。 第二种情况是插入发生在“内部”的情况（即左-右的情况或右-左的情况），该情况要通过稍微复杂些的双旋转来处理。
左单旋：
1 template <typename T>
2 void AVLTree<T>::singleRotateWithL(AVLTreeNode<T>* pnode) {
3 AVLTreeNode<T> *tmpnode_x = pnode->right;
4 pnode->right = tmpnode_x->left;
5 if(tmpnode_x->left != NIL)
6 tmpnode_x->left->parent = pnode;
7 tmpnode_x->parent = pnode->parent;
8 if(pnode->parent == NIL)
9 root = tmpnode_x;
10 else if(pnode == pnode->parent->left)
11 pnode->parent->left = tmpnode_x;
12 else
13 pnode->parent->right = tmpnode_x;
14 tmpnode_x->left = pnode;
15 pnode->parent = tmpnode_x;
16 }
右单旋：
1 template <typename T>
2 void AVLTree<T>::singleRotateWithR(AVLTreeNode<T>* pnode) {
3 AVLTreeNode<T> *tmpnode_x = pnode->left;
4 pnode->left = tmpnode_x->right;
5 if(tmpnode_x->right != NIL)
6 tmpnode_x->right->parent = pnode;
7 tmpnode_x->parent = pnode->parent;
8 if(pnode->parent == NIL)
9 root = tmpnode_x;
10 else if(pnode == pnode->parent->left)
11 pnode->parent->left = tmpnode_x;
12 else
13 pnode->parent->right = tmpnode_x;
14 tmpnode_x->right = pnode;
15 pnode->parent = tmpnode_x;
16 }
双旋可以直接复用单旋的代码：
1 template <typename T>
2 void AVLTree<T>::rotateWithLR(AVLTreeNode<T>* pnode) {
3 singleRotateWithL(pnode->left);
4 return singleRotateWithR(pnode);
5 }
6
7 template <typename T>
8 void AVLTree<T>::rotateWithRL(AVLTreeNode<T>* pnode) {
9 singleRotateWithR(pnode->right);
10 return singleRotateWithL(pnode);
11 }
4. 插入的核心思路是通过递归， 找到合适的位置， 插入新结点， 然后看新结点是否平衡（平衡因子是否为 2），如果不平衡的话，就分成两种大情况以及两种小情况：
1） 在结点的左儿子(data < p->data)
- 在左儿子的左子树((data < p->data) AND (data < p->left->data))， “外边”，要做单旋转。
- 在左儿子的右子树((data < p->data) AND (data > p->left->data0))，“内部”，要做双旋转。
2） 在结点的右儿子(data > p->data)
- 在右儿子的左子树((data > p->data) AND (data < p->right->data))，“内部”，要做双旋转。
- 在右儿子的右子树((data > p->data) AND (data > p->right->data))，“外边”，要做单旋转。
1 template <typename T>
2 int AVLTree<T>::insert_Key(const T& k, AVLTreeNode<T>* pnode) {
3 if(root == NIL) {
4 AVLTreeNode<T>* newnode = new AVLTreeNode<T>;
5 newnode->key = k;
6 newnode->left = NIL;
7 newnode->right = NIL;
8 newnode->parent = NIL;
9 root = newnode;
10 }
11 else {
12 if(k < pnode->key) {
13 if(pnode->left == NIL) {
14 AVLTreeNode<T>* newnode = new AVLTreeNode<T>;
15 newnode->key = k;
16 newnode->left = NIL;
17 newnode->right = NIL;
18 newnode->parent = pnode;
19 pnode->left = newnode;
20 }
21 else
22 insert_Key(k, pnode->left);
23 if(2 == (getDepth(pnode->left) - getDepth(pnode->right))) {
24 if(k < pnode->left->key)
25 singleRotateWithR(pnode);
26 else
27 rotateWithLR(pnode);
28 }
29 }
30 else {
31 if(pnode->right == NIL) {
32 AVLTreeNode<T>* newnode = new AVLTreeNode<T>;
33 newnode->key = k;
34 newnode->left = NIL;
35 newnode->right = NIL;
36 newnode->parent = pnode;
37 pnode->right = newnode;
38 }
39 else
40 insert_Key(k, pnode->right);
41 if(2 == (getDepth(pnode->right) - getDepth(pnode->left))) {
42 if(k > pnode->right->key)
43 singleRotateWithL(pnode);
44 else
45 rotateWithRL(pnode);
46 }
47 }
48 }
49 return 0;
50 }
5. AVL删除
1 template <typename T>
2 int AVLTree<T>::delete_key(const T& k) {
3 int flag;
4 AVLTreeNode<T>* delnode = tree_search(k);
5 AVLTreeNode<T>* tmpnode_x = delnode->parent;
6 if(delnode == tmpnode_x->left)
7 flag = LC;
8 else
9 flag = RC;
10 if(delnode->left == NIL)
11 avl_translate(delnode, delnode->right);
12 else if(delnode->right == NIL)
13 avl_translate(delnode, delnode->left);
14 else {
15 AVLTreeNode<T>* tmpnode_y = tree_minimum(delnode->right);
16 tmpnode_x = tmpnode_y->parent;
17 if(tmpnode_y == tmpnode_x->left)
18 flag = LC;
19 else
20 flag = RC;
21 if(tmpnode_y->parent != delnode) {
22 avl_translate(tmpnode_y, tmpnode_y->right);
23 tmpnode_y->right = delnode->right;
24 tmpnode_y->right->parent = tmpnode_y;
25 }
26 avl_translate(delnode, tmpnode_y);
27 tmpnode_y->left = delnode->left;
28 tmpnode_y->left->parent = tmpnode_y;
29 }
30 avl_delete_fixup(tmpnode_x, flag);
31 return 0;
32 }
1 template <typename T>
2 void AVLTree<T>::avl_delete_fixup(AVLTreeNode<T>* pnode, int flag) {
3 int tmpflag = flag;
4 AVLTreeNode<T>* tmpnode_x = pnode;
5 while(tmpnode_x != NIL) {
6 if(tmpflag == LC) {
7 if(2 == (getDepth(tmpnode_x->right) - getDepth(tmpnode_x->left))) {
8 if(LH == (getDepth(tmpnode_x->right->left) - getDepth(tmpnode_x->right->right)))
9 rotateWithRL(tmpnode_x);
10 else
11 singleRotateWithL(tmpnode_x);
12 break;
13 }
14 }
15 else if(tmpflag == RC) {
16 if(2 == (getDepth(tmpnode_x->left) - getDepth(tmpnode_x->right))) {
17 if(RH == (getDepth(tmpnode_x->left->left) - getDepth(tmpnode_x->left->right)))
18 rotateWithLR(tmpnode_x);
19 else
20 singleRotateWithR(tmpnode_x);
21 break;
22 }
23 }
24 if(tmpnode_x == tmpnode_x->parent->left)
25 tmpflag = LC;
26 else if(tmpnode_x == tmpnode_x->parent->right)
27 tmpflag = RC;
28 tmpnode_x = tmpnode_x->parent;
29 }
30 }
简单测试：
==========================我是华丽的分割线=================================
源码猛戳{这里}！
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参考资料：
http://www.luocong.com/dsaanotes/index-Z-H-11.htm#node_sec_10.1
时间： 2024-10-06 02:00:42