灰色理论

通过对原始数据的处理挖掘系统变动规律，建立相应微分方程，从而预测事物未来发展状况。 
优点：对于不确定因素的复杂系统预测效果较好，且所需样本数据较小； 
缺点：基于指数率的预测没有考虑系统的随机性，中长期预测精度较差。

灰色预测模型

在多种因素共同影响且内部因素难以全部划定，因素间关系复杂隐蔽，可利用的数据情况少下可用，一般会加上修正因子使结果更准确。 
灰色系统是指“部分信息已知，部分信息未知“的”小样本“，”贫信息“的不确定系统，以灰色模型（G,M）为核心的模型体系。

灰色预测模型建模机理

灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念，定义灰导数与会微分方程，进而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型。

灰色预测模型实验

以sin(pi*x/20)函数为例，以单调性为区间检验灰色模型预测的精度 

通过实验可以明显地看出，灰色预测对于单调变化的序列预测精度较高，但是对波动变化明显的序列而言，灰色预测的误差相对比较大。究其原因，灰色预测模型通过AGO累加生成序列，在这个过程中会将不规则变动视为干扰，在累加运算中会过滤掉一部分变动，而且由累加生成灰指数律定理可知，当序列足够大时，存在级比为0.5的指数律，这就决定了灰色预测对单调变化预测具有很强的惯性，使得波动变化趋势不敏感。

本文所用测试代码：

  1 clc
  2 clear all
  3 % 本程序主要用来计算根据灰色理论建立的模型的预测值。
  4 % 应用的数学模型是 GM(1,1)。
  5 % 原始数据的处理方法是一次累加法。
  6 x=[0:1:10];
  7 x1=[10:1:20];
  8 x2=[0:1:20];
  9 y=sin(pi*x/20);
 10 n=length(y);
 11 yy=ones(n,1);
 12 yy(1)=y(1);
 13 for i=2:n
 14     yy(i)=yy(i-1)+y(i);
 15 end
 16 B=ones(n-1,2);
 17 for i=1:(n-1)
 18     B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1))/2;
 19     B(i,2)=1;
 20 end
 21 BT=B‘;
 22 for j=1:n-1
 23     YN(j)=y(j+1);
 24 end
 25 YN=YN‘;
 26 A=inv(BT*B)*BT*YN;
 27 a=A(1);
 28 u=A(2);
 29 t=u/a;
 30 t_test=5;  %需要预测个数
 31 i=1:t_test+n;
 32 yys(i+1)=(y(1)-t).*exp(-a.*i)+t;
 33 yys(1)=y(1);
 34 for j=n+t_test:-1:2
 35     ys(j)=yys(j)-yys(j-1);
 36 end
 37 x=1:n;
 38 xs=2:n+t_test;
 39 yn=ys(2:n+t_test);
 40 det=0;
 41 for i=2:n
 42     det=det+abs(yn(i)-y(i));
 43 end
 44 det=det/(n-1);
 45
 46 subplot(2,2,1),plot(x,y,‘^r-‘,xs,yn,‘b-o‘),title(‘单调递增‘ ),legend(‘实测值‘,‘预测值‘);
 47 disp([‘百分绝对误差为：‘,num2str(det),‘%‘]);
 48 disp([‘预测值为： ‘,num2str(ys(n+1:n+t_test))]);
 49
 50
 51 %递减
 52 y1=sin(pi*x1/20);
 53 n1=length(y1);
 54 yy1=ones(n1,1);
 55 yy1(1)=y1(1);
 56 for i=2:n1
 57     yy1(i)=yy1(i-1)+y1(i);
 58 end
 59 B1=ones(n1-1,2);
 60 for i=1:(n1-1)
 61     B1(i,1)=-(yy1(i)+yy1(i+1))/2;
 62     B1(i,2)=1;
 63 end
 64 BT1=B1‘;
 65 for j=1:n1-1
 66     YN1(j)=y1(j+1);
 67 end
 68 YN1=YN1‘;
 69 A1=inv(BT1*B1)*BT1*YN1;
 70 a1=A1(1);
 71 u1=A1(2);
 72 t1=u1/a1;
 73 t_test1=5;  %需要预测个数
 74 i=1:t_test1+n1;
 75 yys1(i+1)=(y1(1)-t1).*exp(-a1.*i)+t1;
 76 yys1(1)=y1(1);
 77 for j=n1+t_test1:-1:2
 78     ys1(j)=yys1(j)-yys1(j-1);
 79 end
 80 x21=1:n1;
 81 xs1=2:n1+t_test1;
 82 yn1=ys1(2:n1+t_test1);
 83 det1=0;
 84 for i=2:n1
 85     det1=det1+abs(yn1(i)-y1(i));
 86 end
 87 det1=det1/(n1-1);
 88
 89 subplot(2,2,2),plot(x1,y1,‘^r-‘,xs1,yn1,‘b-o‘),title(‘单调递增‘ ),legend(‘实测值‘,‘预测值‘);
 90 disp([‘百分绝对误差为：‘,num2str(det1),‘%‘]);
 91 disp([‘预测值为： ‘,num2str(ys1(n1+1:n1+t_test1))]);
 92
 93 %整个区间
 94 y2=sin(pi*x2/20);
 95 n2=length(y2);
 96 yy2=ones(n2,1);
 97 yy2(1)=y2(1);
 98 for i=2:n2
 99     yy2(i)=yy2(i-1)+y2(i);
100 end
101 B2=ones(n2-1,2);
102 for i=1:(n2-1)
103     B2(i,1)=-(yy2(i)+yy2(i+1))/2;
104     B2(i,2)=1;
105 end
106 BT2=B2‘;
107 for j=1:n2-1
108     YN2(j)=y2(j+1);
109 end
110 YN2=YN2‘;
111 A2=inv(BT2*B2)*BT2*YN2;
112 a2=A2(1);
113 u2=A2(2);
114 t2=u2/a2;
115 t_test2=5;  %需要预测个数
116 i=1:t_test2+n2;
117 yys2(i+1)=(y2(1)-t2).*exp(-a2.*i)+t2;
118 yys2(1)=y2(1);
119 for j=n2+t_test2:-1:2
120     ys2(j)=yys2(j)-yys2(j-1);
121 end
122 x22=1:n2;
123 xs2=2:n2+t_test2;
124 yn2=ys2(2:n2+t_test2);
125 det2=0;
126 for i=2:n2
127     det2=det2+abs(yn2(i)-y2(i));
128 end
129 det2=det2/(n2-1);
130
131 subplot(2,1,2),plot(x2,y2,‘^r-‘,xs2,yn2,‘b-o‘),title(‘全区间‘ ),legend(‘实测值‘,‘预测值‘);
132 disp([‘百分绝对误差为：‘,num2str(det2),‘%‘]);
133 disp([‘预测值为： ‘,num2str(ys2(n2+1:n2+t_test2))]);