最大子段和问题解析

来源：http://blog.csdn.net/tianshuai1111/article/details/7489759

题目描述：

最大子段和：给定一个长度为n的一维数组a，请找出此数组的一个子数组,使得此子数组的和sum＝a[i]+a[i+1]+……+a[j]最大，其中i>=0,i<n,j>=i,j<n

例如：31 -41 59 26 -53  58 97 -93 -23 84

子矩阵59+26-53+58+97=187为所求的最大子数组。

第一种：直接穷举法:

 1     #include <iostream>
 2     using namespace std;
 3
 4     int main()
 5     {
 6        int a[10]={31, -41, 59, 26, -53,  58, 97, -93, -23, 84};
 7        int sum;
 8        int maxsofar=0;
 9        for(int  i = 0 ;i< 10;++i)//控制子数组开始位置
10        {
11            for(int j = i; j< 10 ;++j)//控制子数组结束位置
12            {
13                     sum=0;
14                 for(int k=i;k<j;++k)
15                      sum+=a[k];
16
17                 if(maxsofar<sum)
18                     maxsofar=sum;
19            }
20        }
21
22        cout<<"maxsofar:"<<maxsofar<<endl;
23
24        return 0;
25     }  

时间复杂度为O(n*n*n)

第二种：带记忆的递推法：

 1     #include <iostream>
 2     using namespace std;
 3
 4     int main()
 5     {
 6        int a[10]={31, -41, 59, 26, -53,  58, 97, -93, -23, 84};
 7        int sum;
 8        int maxsofar=0;
 9        int current[10];
10        current[0]=a[0];
11        for(int i=1 ;i< 10;++i)      //首先生成个数为1，2，3……10个的数组和
12        {
13           current[i]=current[i-1]+a[i];
14        }
15
16        for(int  i=0;i< 10;++i)
17        {
18            for(int j=i;j< 10;++j)     //下面通过已求出的和递推
19            {
20                sum=current[j]-current[i-1];
21
22                if(sum>maxsofar)
23                    maxsofar=sum;
24            }
25        }
26
27        cout<<"maxsofar:"<<maxsofar<<endl;
28
29        return 0;
30     }  

显然第二种方法比第一种方法有所改进，时间复杂度为O(n*n)。

第三种：动态规划

下面我们来分析一下最大子段和的子结构，令b[j]表示从a[0]~a[j]的最大子段和。

b[j]的当前值只有两种情况:

(1) 最大子段一直连续到a[j]

(2) 以a[j]为起点的子段  //如果不是第（1）种，则（1）肯定为负，舍去

还有一种情况，那就是最大字段没有包含a[j]，如果没有包含a[j]的话，那么在算b[j]之前的时候我们已经算出来了，注意我们只是算到位置为j的地方，所以最大子段在a[j]后面的情况我们可以暂时不考虑。

由此我们得出b[j]的状态转移方程为：b[j]=max{b[j-1]+a[j], a[j]},

所求的最大子段和为max{b[j],0<=j<n}。进一步我们可以将b[]数组用一个变量代替。

 1     #include <iostream>
 2     using namespace std;
 3
 4     int main()
 5     {
 6        int a[10]={31, -41, 59, 26, -53,  58, 97, -93, -23, 84};
 7
 8        int b=0,sum=a[0];
 9
10             for(int i=0;i<10;i++)
11             {
12                  if(b>0)
13                       b+=a[i];
14                  else
15                       b=a[i];//如果前面为零，如果相加，则影响后面结果，所以抛弃前面总和
16                  if(b>sum)
17                       sum=b;
18             }
19
20
21        cout<<"MaxSum:"<<sum<<endl;
22
23        return 0;
24     }  

算法复杂度：O(n)

这个算法只能够求得最大子段和，不能够明确得出最大子段的位置。

算法三的另一段参考代码：

 1     public int maxSubsequence(int[] array) {
 2             if (array.length == 0) {
 3                 return 0;
 4             }
 5             int max = Integer.MIN_VALUE;
 6             int[] maxSub = new int[array.length];
 7             maxSub[0] = array[0];
 8             max=maxSub[0];
 9
10             for (int i = 1; i < array.length; i++) {
11                 maxSub[i] = (maxSub[i-1] > 0) ? (maxSub[i-1] + array[i]) : array[i];
12                 if (max < maxSub[i]) {
13                     max = maxSub[i];
14                 }
15             }
16             return max;
17         }  

http://blog.csdn.net/tianshuai1111/article/details/7489759#

http://www.cnblogs.com/reynold-lei/p/3320676.html