[问题2014S13] 解答
(1) 先证必要性：若 A=LUA=LU
是 非异阵 A
的 LU
分解，则 L
是主对角元全部等于 1 的下三角阵，U
是主对角元全部非零的上三角阵. 由 Cauchy-Binet 公式知 |A_k|=|L_k|\cdot|U_k|=|U_k|\neq
0,\,\,k=1,2,\cdots,n,
其中 |A_k|,|L_k|,|U_k|
分别表示 A,L,U
的第 k
个顺序主子式.
再证充分性以及分解的唯一性：我们对 A
的阶数 n
进行归纳. n=1
时, 结论显然成立. 设阶数 <n
时, 结论成立. 注意到 A
的第 n-1
个顺序主子阵 A_{n-1}
满足条件: 它的 n-1
个顺序主子式全部非零，故由归纳假设，A_{n-1}
存在唯一的 LU
分解：A_{n-1}=L_{n-1}U_{n-1},
其中 L_{n-1}
是主对角元全部等于 1 的 n-1
阶下三角阵，U_{n-1}
是主对角元全部非零的 n-1
阶上三角阵. 设 A=\begin{bmatrix} A_{n-1} & \alpha
\\ \beta‘ & a_{nn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} L_{n-1} & 0 \\ x‘
& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} U_{n-1} & y \\ 0 & z
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} L_{n-1}U_{n-1} & L_{n-1}y \\ x‘U_{n-1}
& x‘y+z \end{bmatrix},
其中 \alpha,\beta,x,y
为 n-1
维列向量, z
为数. 由此可得： \alpha=L_{n-1}y,\,\,
\beta‘=x‘U_{n-1},\,\,a_{nn}=x‘y+z.
因为 L_{n-1},U_{n-1}
为非异阵, 由上式可唯一解得：y=L_{n-1}^{-1}\alpha,\,\,x‘=\beta‘U_{n-1}^{-1},\,\,z=a_{nn}-\beta‘U_{n-1}^{-1}L_{n-1}^{-1}\alpha=a_{nn}-\beta‘A_{n-1}^{-1}\alpha.
令 L=\begin{bmatrix} L_{n-1} & 0 \\
\beta‘U_{n-1}^{-1} & 1 \end{bmatrix},\,\,U=\begin{bmatrix} U_{n-1} &
L_{n-1}^{-1}\alpha \\ 0 & a_{nn}-\beta‘A_{n-1}^{-1}\alpha
\end{bmatrix},
则 A=LU
即为 A
的唯一的 LU
分解.
(2) 我们对 A
的阶数 n
进行归纳，来证明 Cholesky 分解的存在性和唯一性. n=1
时, 结论显然成立. 设阶数 <n
时, 结论成立. 注意到 A
的第 n-1
个顺序主子阵 A_{n-1}
也是正定实对称阵, 故由归纳假设，A_{n-1}
存在唯一的 Cholesky 分解：A_{n-1}=C_{n-1}‘C_{n-1},
其中 C_{n-1}
是主对角元全大于零的 n-1
阶上三角阵. 设 A=\begin{bmatrix} A_{n-1} & \alpha
\\ \alpha‘ & a_{nn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} C‘_{n-1} & 0 \\ x‘
& y \end{bmatrix}\begin{bmatrix} C_{n-1} & x \\ 0 & y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} C_{n-1}‘C_{n-1} & C_{n-1}‘x \\ x‘C_{n-1} &
x‘x+y^2 \end{bmatrix},
其中 \alpha,\beta,x
为 n-1
维列向量, y
为数. 由此可得：
\alpha=C_{n-1}‘x,\,\,a_{nn}=x‘x+y^2.
由上式可唯一解得：x=(C_{n-1}‘)^{-1}\alpha,
y^2=a_{nn}-\alpha‘C_{n-1}^{-1}(C_{n-1}‘)^{-1}\alpha=a_{nn}-\alpha‘A_{n-1}^{-1}\alpha=\frac{|A|}{|A_{n-1}|}>0,\,\,y=\sqrt{\frac{|A|}{|A_{n-1}|}}.
令 C=\begin{bmatrix} C_{n-1} &
(C_{n-1}‘)^{-1}\alpha \\ 0 & \sqrt{\frac{|A|}{|A_{n-1}|}}
\end{bmatrix},
则 A=C‘C
即为 A
的唯一的 Cholesky 分解. \Box