1. 生成函数
1.1. 生成函数的概念
我们要研究一个数列的结构.
我们尝试构造一个函数, 来包含这个数列的信息.
如果这个函数能够成功地转化, 得到等价的展开形式, 那么就大功告成了.
为此, 我们给出了生成函数的定义:
数列 $A = \left\{ a_0, a_1, ..., a_n \right\}$ 的生成函数为 $f(x) = \sum_{k = 0} ^ n a_k x ^ k$ .
为了防止每次都要定义序列, 我们记数列的第 $n$ 项, 即 $f(x) 的第 $n$ 项系数, 为 $a_n = [n]f(x)$ .
给出了定义之后, 我们需要探究一些特殊的情形.
这些特殊的情况, 即能促进对概念的理解和补充, 也能在之后有所应用.
$\left\{ \binom{n}{0}, \binom{n}{1}, ..., \binom{n}{n} \right\}$ 的生成函数为
$$f(x) = \sum_{k = 0} ^ n \binom{n}{k} x ^ k = {(1 + x)} ^ n$$
说明 二项式定理.
$\left\{ 1, 1, 1, ... \right\}$ 的生成函数为
$$f(x) = \sum_{k= 0} ^ {\infty} x ^ k = \frac{1}{1 - x}$$
说明 无穷项等比数列求和.
$$\frac{1}{1 - x ^ n} = \sum_{k = 0}^ \infty \binom{k + n - 1}{n - 1} x ^ k$$
证明 组合推理, 插板法.
1.2. 生成函数的性质
理解清楚生成函数的定义之后, 我们要研究它的性质, 以便于更好地在应用中施展这门技术.
主要是研究它的一些运算性质, 其中卷积的性质是重中之重.
统一设 $f(x) = \sum_{k = 0} ^ n a_k x ^ k, g(x) = \sum_{k = 0} ^ n b_k x ^ k$ .
基本定理 $f(x) = g(x) \Leftrightarrow \forall i \in [0, n] a_i = b_i$ .
线性性质 $f(x) + g(x)$ 为 $\left\{ a_k + b_k \right\}$ 的生成函数.
$f(x) - g(x)$ 为 $\left\{ a_k + b_k \right\}$ 的生成函数.
$cf(x)$ 为 $\left\{ ca_k \right\}$ 的生成函数.
卷积 $(f\otimes g)(x)$ 为 $\left\{ \sum_{k = i + j} a_i \times b_j \right\}$ 的生成函数.
1.3. 求解递推式
设出生成函数, 求解生成函数, 裂项, 展开.
1.4. 组合计数
设购买 A 物品 $n$ 件的方案数为 $a_n$ , 购买 B 物品的方案数为 $b_n$ .
则组合购买 A , B 两种物品 (既可以购买 A 物品, 又可以购买 B 物品) , 一共 $n$ 件的方案数为 $\sum_{i + j = n} a_i \times b_j$ .
所以 $\left\{ a_k \right\}$ 的生成函数 卷上 $\left\{ b_k \right\}$ 的生成函数 为 组合购买的方案数的生成函数.