LCA_Tarjan
LCA的Tarjan算法的时间复杂度为O(n+q)是一种离线算法，要用到并查集。
Tarjan算法基于dfs，在dfs的过程中，对于每个节点位置的询问做出相应的回答。
dfs的过程中，当一棵子树被搜索完成之后，就把他和他的父亲合并成同一集合；在搜索当前子树节点的询问时，如果该询问的另一个节点已经被访问过，那么该编号的询问是被标记了的，于是直接输出当前状态下，另一个节点所在的并查集的祖先；如果另一个节点还没有被访问过，那么就做下标记，继续dfs。
当然，暂时还没那么容易弄懂，所以建议结合下面的例子和标算来看看。
比如：8-1-（13，14）,此时如果询问(13，14)的话，则(13，14)的LCA为1；如果没有相应的询问，则往上回溯，(13，14)的父亲都是1了，再往上就是8了。再DFS 8-4-6-(15,7),一样的，回溯时，15，7，4的LCA就成4了。
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=40000+5;
struct Edge{
int cnt,x[N],y[N],z[N],nxt[N],fst[N];
void set(){
cnt=0;
memset(x,0,sizeof x);
memset(y,0,sizeof y);
memset(z,0,sizeof z);
memset(nxt,0,sizeof nxt);
memset(fst,0,sizeof fst);
}
void add(int a,int b,int c){
x[++cnt]=a;
y[cnt]=b;
z[cnt]=c;
nxt[cnt]=fst[a];
fst[a]=cnt;
}
}e,q;
int T,n,m,from,to,dist,in[N],rt,dis[N],fa[N],ans[N];
bool vis[N];
void dfs(int rt){
for (int i=e.fst[rt];i;i=e.nxt[i]){
dis[e.y[i]]=dis[rt]+e.z[i];
dfs(e.y[i]);
}
}
int getf(int k){
return fa[k]==k?k:fa[k]=getf(fa[k]);
}
void LCA(int rt){
for (int i=e.fst[rt];i;i=e.nxt[i]){
LCA(e.y[i]);
fa[getf(e.y[i])]=rt;
}
vis[rt]=1;
for (int i=q.fst[rt];i;i=q.nxt[i])
if (vis[q.y[i]]&&!ans[q.z[i]])
ans[q.z[i]]=dis[q.y[i]]+dis[rt]-2*dis[getf(q.y[i])];
}
int main(){
scanf("%d",&T);
while (T--){
q.set(),e.set();
memset(in,0,sizeof in);
memset(vis,0,sizeof vis);
memset(ans,0,sizeof ans);
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<n;i++)
scanf("%d%d%d",&from,&to,&dist),e.add(from,to,dist),in[to]++;
for (int i=1;i<=m;i++)
scanf("%d%d",&from,&to),q.add(from,to,i),q.add(to,from,i);
rt=0;
for (int i=1;i<=n&&rt==0;i++)
if (in[i]==0)
rt=i;
dis[rt]=0;
dfs(rt);
for (int i=1;i<=n;i++)
fa[i]=i;
LCA(rt);
for (int i=1;i<=m;i++)
printf("%d\n",ans[i]);
}
return 0;
}
LCA_倍增
LCA_倍增是LCA的在线算法，时间和空间复杂度分别是O((n+q)log n)和O(n log n)。
对于这个算法，我们从最暴力的算法开始：
①如果a和b深度不同，先把深度调浅，使他变得和浅的那个一样
②现在已经保证了a和b的深度一样，所以我们只要把两个一起一步一步往上移动，直到他们到达同一个节点，也就是他们的最近公共祖先了。
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
const int N=10000+5;
vector <int> son[N];
int T,n,depth[N],fa[N],in[N],a,b;
void dfs(int prev,int rt){
depth[rt]=depth[prev]+1;
fa[rt]=prev;
for (int i=0;i<son[rt].size();i++)
dfs(rt,son[rt][i]);
}
int LCA(int a,int b){
if (depth[a]>depth[b])
swap(a,b);
while (depth[b]>depth[a])
b=fa[b];
while (a!=b)
a=fa[a],b=fa[b];
return a;
}
int main(){
scanf("%d",&T);
while (T--){
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;i++)
son[i].clear();
memset(in,0,sizeof in);
for (int i=1;i<n;i++){
scanf("%d%d",&a,&b);
son[a].push_back(b);
in[b]++;
}
depth[0]=-1;
int rt=0;
for (int i=1;i<=n&&rt==0;i++)
if (in[i]==0)
rt=i;
dfs(0,rt);
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%d\n",LCA(a,b));
}
return 0;
}
而实际上，一步一步往上移动太慢，我们可以做一个预处理：
fa[i][j]表示节点i往上走2^j次所到达的祖先，那么不难写出转移方程：
fa[i][0]=father[i],fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]
然后在求LCA的时候，有这样一个性质：（假设a和b深度一样）
设anst[x][y]为节点x网上走y步到达的祖先，对于一个k，如果anst[a][k]==anst[b][k],那么对于k‘(k‘>k)，一定有anst[a][k‘]==anst[b][k‘]；对于一个k，如果anst[a][k]!=anst[b][k],那么对于k‘(k‘<k)，一定有anst[a][k‘]!=anst[b][k‘],而且LCA(a,b)=LCA(anst[a][k],anst[b][k])。
于是求法就渐渐的现行了：
1. 把a和b移到同一深度（设depth[x]为节点x的深度），假设depth[a]<=depth[b],所以我们的目的是把b向上移动i=(depth[b]-depth[a])层，那么，由于之前有预处理的fa数组，我们把i写成二进制形势，然后利用fa数组来在log n的复杂度中完成；
2. 寻找a和b的LCA下一层的两个祖先。利用之前的那个性质，再利用倍增，如果a和b的第2^k个祖先不是同一个，那么把a改为fa[a][k],b改为fa[b][k],k减1;否则直接k减1；当然在这之前要实现确定k的最大值，从大往小处理下去。最终的结果就是fa[a][0]或者fa[b][0]。
注意点：如果a和b在调节深度之后已经是同一个祖先的，那么直接返回a或者b。
1 #include <cstring>
2 #include <cstdio>
3 #include <cstdlib>
4 #include <algorithm>
5 #include <cmath>
6 #include <vector>
7 using namespace std;
8 const int N=10000+5;
9 vector <int> son[N];
10 int T,n,depth[N],fa[N][17],in[N],a,b;
11 void dfs(int prev,int rt){
12 depth[rt]=depth[prev]+1;
13 fa[rt][0]=prev;
14 for (int i=1;(1<<i)<=depth[rt];i++)
15 fa[rt][i]=fa[fa[rt][i-1]][i-1];
16 for (int i=0;i<son[rt].size();i++)
17 dfs(rt,son[rt][i]);
18 }
19 int LCA(int a,int b){
20 if (depth[a]>depth[b])
21 swap(a,b);
22 for (int i=depth[b]-depth[a],j=0;i>0;i>>=1,j++)
23 if (i&1)
24 b=fa[b][j];
25 if (a==b)
26 return a;
27 int k;
28 for (k=0;(1<<k)<=depth[a];k++);
29 for (;k>=0;k--)
30 if ((1<<k)<=depth[a]&&fa[a][k]!=fa[b][k])
31 a=fa[a][k],b=fa[b][k];
32 return fa[a][0];
33 }
34 int main(){
35 scanf("%d",&T);
36 while (T--){
37 scanf("%d",&n);
38 for (int i=1;i<=n;i++)
39 son[i].clear();
40 memset(in,0,sizeof in);
41 for (int i=1;i<n;i++){
42 scanf("%d%d",&a,&b);
43 son[a].push_back(b);
44 in[b]++;
45 }
46 depth[0]=-1;
47 int rt=0;
48 for (int i=1;i<=n&&rt==0;i++)
49 if (in[i]==0)
50 rt=i;
51 dfs(0,rt);
52 scanf("%d%d",&a,&b);
53 printf("%d\n",LCA(a,b));
54 }
55 return 0;
56 }