算法导论学习笔记——第8章 线性时间排序

任意一种比较排序算法，在最坏情况下的运行时间下限是Ω(nlgn)

计数排序

假设n个输入元素中的每一个都是介于0到k之间的整数，k为某个整数，当k=O(n)时，计数排序的运行时间为Θ(n)

 1 //输入数组A[1..n]，存放排序结果数组B[1..n]，临时存储区C[0..k]
 2 COUNTING-SORT(A,B,k)
 3 for i←0 to k
 4     do C[i]←0
 5 for j←1 to length[A]
 6     do C[A[j]]←C[A[j]]+1
 7 for i←1 to k
 8     do C[i]←C[i]+C[i-1]
 9 for j←length[A] downto 1
10     do B[C[A[j]]]←A[j]
11         C[A[j]]←C[A[j]]-1

基数排序

假设长度为n的数组A中，每个元素都有d位数字，其中第1位是最低位，第d位是最高位

1 RADIX-SORT(A,d)
2 for i←1 to d
3     do use a stable sort to sort array A on digit i

桶排序

假设输入由一个随机过程产生，该过程将元素均匀的分布在区间[0,1)上

1 BUCKET-SORT(A)
2 n←length[A]
3 for i←1 to n
4     do insert A[i] into list B[floor(nA[i])]
5 for i←0 to n-1
6     do sort list B[i] with insertion sort
7 concatenate the lists B[0],B[1]...B[n-1] together in order
时间： 2024-10-20 00:10:38

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本章节主要证明对包含n个元素的输入序列来说,任何比较排序在最坏情况下都要经过omega(nlgn)次比较.从而证明归并排序和堆排序是渐近最优的.同时,介绍了三种线性时间复杂度的排序算法:计数排序.基数排序和桶排序. 1. 排序算法的下界在确定排序算法的下界时,借助决策树模型.决策树模型是一棵完全二叉树,它可以表示在给定输入规模情况下,某一特定排序算法对所有元素的比较操作.对于比较操作,假定元素互异,因此仅使用小于等于和大于比较操作符.典型的决策树模型如下图所示:显然,n个元素,n!种不同排列,均

算法导论学习笔记——第12章 二叉查找树

二叉查找树性质 设x是二叉查找树中的一个结点,如果y是x的左子树中的一个结点,则k[y]<=key[x]:如果y是右子树中的一个结点,则k[y]>=k[x] 1 //中序遍历算法,输出二叉查找树T中的全部元素 2 INORDER-TREE-WALK(x) 3 if x!=nil 4 then INORDER-TREE-WALK(left[x]) 5 print key[x] 6 INORDER-TREE-WALK(right[x]) 查找 1 //递归版本 2 TREE-SEARCH(x,k)

算法导论学习笔记——第1章

所谓算法,就是定义良好的计算过程,它取一个或一组值作为输入,并产生出一个或一组值作为输出.亦即,算法是一系列的计算过程,将输入值转换成输出值. 一些常见的算法运行时间量级比较:对数级<多项式级<指数级<阶乘级 1 lgn < n 1/2 < n < nlgn < n 2 < n 3 < 2 n < n!

算法导论学习笔记——第3章

一些数学问题 1.对任意两个函数f(n)和g(n),f(n)=Θ(g(n))当且仅当f(n)=O(g(n))和f(n)=Ω(g(n)) 2.实数集有一个属性不能应用在渐进符号上 三分性:对于实数a和b,下列三种情况有且仅有一种情况成立,a>b,a=b,a<b 并不是所有的函数都可以进行渐进比较 3.近似的函数增长 对数<线性<多项式<指数<阶乘

算法导论学习笔记 第7章 快速排序

对于包含n个数的输入数组来说,快速排序是一种时间复杂度为O(n^2)的排序算法.虽然最环情况的复杂度高,但是快速排序通常是实际应用排序中最好的选择,因为快排的平均性能非常好:它的期望复杂度是O(nlgn),而且O(nlgn)中的常数因子非常小.另外,快速排序还可以实现原址排序,甚至在虚拟环境中也能很好的工作. 1 快速排序的描述 与归并排序一样,快速排序也使用了分治法的思想,下面是对一个典型的子数组A[p.. r]进行快速排序的分治过长: 分解:数组A[p.. r]被划分为两个(可能为空)子数组

算法导论笔记 第8章 线性时间排序

任何比较排序在最好情况下都要经过Ω(nlgn),即比较排序的下界为Ω(nlgn). 合并排序和堆排序都是渐进最优的. 要突破Ω(nlgn),就要进行非比较排序.计数排序.基数排序和桶排序都有非比较的一些操作来确定排序顺序,它们可以达到线性运行时间. 这三种排序都是以空间换时间.应用的不广,先不细看了. 原文地址:https://www.cnblogs.com/jackson-zhou/p/8419798.html

算法导论学习笔记——第11章 散列表

直接寻址表 1 DIRECT-ADDRESS-SEARCH(T,k) 2 return T[k] 3 4 DIRECT-ADDRESS-INSERT(T,x) 5 T[key[x]]←x 6 7 DIRECT-ADDRESS-DELETE(T,x) 8 T[key[x]]←nil

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堆 堆数据结构是一种数组对象,可以被视为一棵完全二叉树. 对于给定的数组A,树的根为A[1],对于给定的下标为i的结点A[i],其父结点PARENT(i)=floor(i/2),左子结点LEFT(i)=2i,右子结点RIGHT(i)=2i+1 叶级结点的高度可以认为是0,每向上一层,高度加一,定义树的告诉为根结点的高度. P74

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解递归式 1.代换法substitution 1)猜测解的形式 2)用数学归纳法找出使解真正有效的常数 2.递归树 使用递归树时,可以忽略一些“小误差”,将递归产生的结果作为猜测,用代换法进行验证. 也可以严格计算每一层递归树的代价,加总成递归式的结果. 对于有两个子问题,子问题规模为1/2的递归树(二叉树),树的高度是lgn,叶级节点的数量是n 3.主方法master method 递归式形式T(n)=aT(n/b)+f(n),其中a>=1,保证有一个及以上子问题:b>1,保证问题的规模逐步