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1. $$\bex \al\in\bbR\ra \int_0^\infty \frac{\rd x}{(1+x^2)(1+x^\al)}=? \eex$$

解答: $$\beex \bea \int_0^\infty \frac{\rd x}{(1+x^2)(1+x^\al)}&=\int_0^1\cdots+\int_1^\infty\cdots\\ &=\int_1^\infty \frac{x^\al \rd x}{\cdots}+\int_1^\infty \frac{\rd x}{\cdots}\\ &=\int_1^\infty \frac{\rd x}{1+x^2}=\frac{\pi}{4}. \eea \eeex$$

2. $$\bex \int_0^1 \frac{\arcsin x}{x}\rd x. \eex$$

解答: $$\beex \bea \int_0^1 \frac{\arcsin x}{x}\rd x &=\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{t\cos t}{\sin t}\rd t\\ &=\int_0^\frac{\pi}{2}t\rd \ln \sin t\\ &=-\int_0^\frac{\pi}{2}\ln \sin t\rd t\\ &=\frac{\pi}{2}\ln 2. \eea \eeex$$ 这里, 最后一步用了我们上课时做过的一个习题: $$\bex \int_0^\frac{\pi}{2}\ln \sin x\rd x=-\frac{\pi}{2}\ln 2. \eex$$

时间： 2024-11-09 02:44:18

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设 $a_n\to a$, 试证: $$\bex \vlm{n}\frac{a_1+2a_2+\cdots+na_n}{1+2+\cdots+n}=a. \eex$$ 证明: (1). 用 $a_n-a$ 代替 $a_n$ 而不妨设 $a=0$. (2). 设 $a_n\to 0$, 则 $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ N_1,\st n>N_1\ra |a_n|<\frac{\ve}{2}. \eex$$ 对上述 $N_1$, 由 $\dps{\vlm

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