BZOJ2818 欧拉函数

题意：求1--n中满足gcd(x,y)的值为质数的数对(x,y)的数目　　（ (x,y)和(y,x)算两个 ）

sol：

设p[i]是一个质数，那么以下两个命题是等价的：

1.gcd(x,y)=1

2.gcd(x*p[i],y*p[i])=p[i]

eg:gcd(36,25)=1，gcd(36*7,25*7)=7

所以对于1--n的所有质数p[i]，求一下1<=x,y<=n/p[i]中所有gcd(x,y)=1的数对的数目即可。

如何求1--r范围内所有互质数对的数目？

考虑欧拉函数φ(x)=1..x中与x互质的数的数目

设x<=y，那么这样就可以求出来了：

for y:=2 to r do　　　　//1不是质数也不是合数，而且1和任意数的gcd都等于1，应该除去
　　ans+=2*phi[y];           //(x,y)和(y,x)算两个
ans++;    //这是本题的特殊情况：当x==y时，gcd(y,y)的值也是质数

Solve函数是题解里用的，事先累加了所有2*phi[i]，速度要快一点点

Reference: http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8542292

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cmath>
 4 using namespace std;
 5 #define LL long long
 6 #define MMX 10000010
 7 int phi[MMX],p[MMX];
 8 LL psum[MMX];
 9 bool pr[MMX];
10 LL nm,ret,n;
11
12 void calc_phi(int n)        //求1--n的欧拉函数，phi[i]
13 {                           //psum[n]:sum of phi[1..n]*2
14     for (int i=2;i<=n;i++)
15         phi[i]=0;
16     phi[1]=1;
17     for (int i=2;i<=n;i++)
18         if (!phi[i])
19             for (int j=i;j<=n;j+=i)
20             {
21                 if (!phi[j])    phi[j]=j;
22                 phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
23             }
24     psum[1]=0;
25     for (int i=2;i<=n;i++)
26         psum[i]=psum[i-1]+phi[i]*2;
27 }
28
29 void isprime(LL n)     //求1--n的质数。pr[i]=1 : i is a prime
30 {
31     nm=0;
32     memset(pr,true,sizeof(pr));
33     LL m=sqrt(n+0.5);
34     pr[1]=false;
35     for (LL i=2;i<=m;i++)
36         if (pr[i])
37         {
38             for (LL j=i*i;j<=n;j+=i)
39                 pr[j]=false;
40         }
41     for (int i=1;i<=n;i++)
42         if (pr[i])
43         {
44             nm++;
45             p[nm]=i;
46         }
47 }
48
49 LL Solve(int n)     //
50 {
51     LL ans = 0;
52     for(int i=1; i<=nm&&p[i]<=n; i++)
53         ans += 1 + psum[n/p[i]];
54     return ans;
55 }
56
57 int main()
58 {
59     cin>>n;
60     isprime(n);
61     calc_phi(n);
62
63     LL ret=0;
64     for (int i=1;i<=nm;i++)
65     {
66         int r=n/p[i];
67         for (int j=2;j<=r;j++)  //注意1不能包括进去，因为gcd(1,?)恒等于1
68             ret+=2*phi[j];
69         ret++;
70     }
71     cout<<ret<<endl;
72
73     //cout<<endl<<Solve(n)<<endl;
74     return 0;
75 }