Hypothesis set可以表示如下。
可以看出H2=H3 when w3=0。或者H2=H10 when w3…w10=0。
因此可以得出结论
上篇文章说到，H2中找到的h*的Eout会比H10中找到的h*的Eout要小，因为H10中的h*产生了overfitting。
假如说现在要在H10中找h*，那么就是要
(1)
如果要在H2中找h*，也可以做(1)式的动作，只不过要加上约束条件w3=w4=…w10=0。
即H2可以 表示为
现在我们把约束条件放松一点，不要让特定的w3…w10=0，只需要有8个w=0即可。定义为
因此，对
求h*的过程要保证w=0的个数小于等于3.
但是求解这样一个h是NP-hard的问题。于是，我们把约束的目标变成
，之所以可以这样替代的原因是，如果当大部分的w都为0时，它们的平方和也应该小于某个数，这里引入了C。于是原来的变为
可以看出，和
的空间有overlap，但是并不是完全一样的，比如中确实满足
，但是可能是每个w都很小但不等于0，这部分的h并不是重叠部分。如果C无穷大时，说明木有约束条件，也就是H10了。
现在在H(C)中求h*，需要minEin(w)，对于linear regression的问题
对于约束条件的物理意义就是w要在半径为
的球内部，如下图红色部分。
对于min的部分，w减小的方向就是梯度
的方向，现在有个w已经在球的边缘，因为有约束条件的限制，意思是w只能最多在球面上滚动，不能滚出球的范围。然后求出的梯度是蓝色的部分，如果梯度的方向垂直于球的切面，即normal那个方向，这样就违反了约束条件，其实normal向量的方向就和w的方向一致。如果求出的梯度的方向如图所示，可知梯度在垂直于normal向量的绿色方向有一个分量，可知w可以往绿色的方向滚，这样就更加接近了位于山谷的wlin了。
当求出的梯度和normal，也就是w的方向一直的话，则说明再滚下去就会滚出球的范围，违反了约束条件。把此时的w称为
，有
，即这两个方向平行。
既然平行，我们可以加入拉格朗日乘子，把这两项写在一个式子里，如式(2)
(2)
其中
所以(2)式变为
当
已知时，解关于的一次方程，有
叫做ridge regression (L2-norm)
如果没有那一项，就是之前没有正规化的w的求法
其实求式(2)，等价于求式(3)
，就是把式(2)积分回去的结果。
定义
这样，原来求解一个带有C的约束条件的方程，变成求解一个没有约束条件，但是带有一项regularizer
的方程，即
这种方法叫做weight-decay regularization.
其实就是给定一个C，就可以求出对应的。
有个问题需要讨论，如果当x的取值范围在-1到1之间，那么经过polynomial的转换以后，高次的
就会变很小，前面的系数
则需要很大，但是这和regularization所希望的是相矛盾的。
因此如果要做多项式的regularization，用右图的变换比左图的，得到的效果更好。
从VC bound的角度来说，如果算法没有经过regularized，
，这是个很大的数字。但是如果regularized的话，
，这个值其实很小（A是用于min 
的算法）
以上是在讨论L2 regularizer，接下来稍微介绍一下L1 regularizer：
L1的解出来的w是sparse的，有很多的w是0，因为往往求得的会跑到顶点去，这边的w就会有很多是0.
