题目:任意给定一个正整数N,求一个最小的正整数M(M>1),使得N*M的十进制表示形式里只含有1和0.
解决这个问题首先考虑对于任意的N,是否这样的M一定存在。可以证明,M是一定存在的,而且不唯一。
简单证明:因为
这是一个无穷数列,但是数列中的每一项取值范围都在[0, N-1]之间。所以这个无穷数列中间必定存在循环节。即假设有s,t均是正整数,且s<t,有 。于是循环节长度为t-s。于是10^s = 10^t。因此有:
,所以
例如,取N=3,因为10的任何非负次方模3都为1,所以循环节周期为1.有:
给定N,求M的方法:
方法一:给定N,令M从2开始,枚举M的值直到遇到一个M使得N*M的十进制表示中只有1和0.
方法二:求出10的次方序列模N的余数序列并找出循环节。然后搜索这个余数序列,搜索的目的就是要在这个余数序列中找到一些数出来让它们的和是N的倍数。例如N=13,这个序列就是1,10,9,12,3,4然后不断循环。很明显有1+12=13,而1是10的0次方,12是10的3次方,所以这个数就是1000+1=1001,M就是1001/13=77。
方法三:因为N*M的取值就是1,10,11,100,101,110,111,......所以直接在这个空间搜索,这是对方法一的改进。搜索这个序列直到找到一个能被N整除的数,它就是N*M,然后可计算出M。例如N=3时,搜索树如下:
上图中括号内表示模3的余数。括号外表示被搜索的数。左子树表示0,右子树表示1.上图中搜索到第二层(根是第0层)时遇到111,它模3余数为0.所以N*M=111, M=111/3=37。
方法四:对方法三的改进。将方法三的搜索空间按模N余数分类,使得搜索时间和空间都由原来的指数级降到了O(N)。改进的原理:假设当前正在搜索由0,1组成的K位十进制数,这样的K位十进制数共有2^k个。假设其中有两个数X、Y,它们模N同余,那么在搜索由0、1组成的K+1位十进制数时,X和Y会被扩展出四个数:10X, 10X+1, 10Y, 10Y+1。因为X和Y同余(同余完全可以看作相等),所以10X与10Y同余,10X+1与10Y+1同余。也就是说由Y扩展出来的子树和由X扩展产生出来的子树产生完全相同的余数,如果X比Y小,那么Y肯定不是满足要求的最小的数,所以Y这棵子树可以被剪掉。这样,2^K个数按照模N余数分类,每类中只保留最小的那个数以供扩展。原来在这一层需要搜索2^K个数,现在只需要搜索O(N)个数。例如,当N=9时,第0层是1(1),
如上图所示,第2层的110,第三层的1010、1110都因为同一层有和它同余且更小的数而被剪掉。如果按照方法三搜索,第三层本来应该有8个结点,但现在只有4个结点。
方法一:
#include <stdio.h> int HasOnlyOneAndZero(unsigned int n) { while(n) { if(n % 10 >= 2) return 0; n /= 10; } return 1; } int main() { int n, m; while(scanf("%d", &n) != EOF) { for(m = 1;;m++) { if(HasOnlyOneAndZero(n*m)) { printf("n = %d, m = %d, n*m = %d/n", n, m, n*m); break; } } } return 0; }
方法三:
// 解法三(1):广度优先搜索 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include <cstdio> #include <queue> using namespace std; int main() { int N; while(scanf("%d", &N) != EOF) { queue<int> q; q.push(1); while(!q.empty()) { int t = q.front(); q.pop(); if(t % N == 0) { printf("n = %d, m = %d, n*m = %d/n", N, t/N, t); break; } q.push(t * 10); q.push(t * 10 + 1); } } return 0; }
方法四:
// 解法四:将搜索空间分过类的广度搜索,这样空间占用是O(N)而不是 // 指数级。分类的原则是按照模N的余数分类 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include <cstdio> #include <bitset> #include <vector> #include <queue> using namespace std; struct QNode { int v, r; // v is value, r is remainder QNode(int vv, int rr): v(vv), r(rr) {} QNode(): v(0), r(0) {} }; int main() { int N; while(scanf("%d", &N) != EOF) { //bitset<N> bn; queue<QNode> q; q.push(QNode(1, 1)); while(!q.empty()) { //bn.reset(); vector<bool> bn(N, false); int s = q.size(); while(s--) { QNode t = q.front(); if(t.r == 0) { printf("n = %d, m = %d, n*m = %d/n", N, t.v/N, t.v); goto ok; } q.pop(); if(!bn[t.r * 10 % N]) { bn[t.r * 10 % N] = true; q.push(QNode(t.v * 10, t.r * 10 % N)); } if(!bn[(t.r * 10 + 1) % N]) { bn[(t.r * 10 + 1) % N] = true; q.push(QNode(t.v * 10 + 1, (t.r * 10 + 1) % N)); } } } ok:; } return 0; }
学习之处:
- 进行问题的转换 N*M的是十进制的表现形式里只有0和1更加,有特征,所以转换成查找N*M,进而反推M,减少问题查找的空间
- 相比方法四,方法三只是进行了剪枝的操作,思路是一样的。
- 扩展数字的话,像扩展一棵树的问题,便可以用队列方法继续表示了。