leetcode第一刷_Unique Binary Search Trees

这道题其实跟二叉搜索树没有什么关系，给定n个节点，让你求有多少棵二叉树也是完全一样的做法。思想是什么呢，给定一个节点数x，求f(x)，f(x)跟什么有关系呢，当然是跟他的左右子树都有关系，所以可以利用其左右子树的结论，大问题被成功转化成了小问题。最熟悉的方法是递归和dp，这里显然有大量的重复计算，用dp打表好一些。

后来实验的同学说，这其实是一个Catalan数，上网查了一下，果然啊。Catalan数是这样子的：

h(0) = 1, h(1) = 1;

递推式：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1)
(n=0,1,2,...)

其中数列的前几项是：1,2,5,14,42，很多公司的笔试题都会问这个，一般是到5。知道了通项公式，直接秒杀。

Catalan数的应用当然不止求树的个数，还有很多。算法考试中最难的一个题，问在多边形中放入不相交的对角线，一共有多少种不同的分法，请根据矩阵相乘的方法来想。矩阵相乘在课堂上讲过，是在一连串的矩阵乘法中添加括号，使实际的乘法数最少。原来都可以用Catalan数来解。

class Solution {
	public:
    		int numTrees(int n) {
        		vector<int> res(n+1, 0);
        		res[0] = 1;
       			for(int i=1;i<=n;i++){
        	    		for(int j=0;j<i;j++){
                			res[i] += res[j]*res[i-j-1];
            			}
        		}
        		return res[n];
    		}
};

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