zoj 2778 - Triangular N-Queens Problem

题目：在三角形的棋盘上放n皇后问题。

分析：找规律题目，按照题目的输出，可以看出构造法则；

先填奇数，后填偶数。下面我们只要证明这种构造的存在性即可。

解法：先给出集体构造方法，从（1，n-f（n）+1） 开始填充奇数点；

填充所有的（1+2k，n-f（n）+1+k）{其中f（n）就是最大填充数，1+2k<=n-f（n）+1+k} ；

之后开始从（2，n-f（n）+1+k+1）开始填充偶数点，由于奇数点只能攻击奇数点；

偶数点只能攻击偶数点，所以只要保证每行一个皇后就可以了。

证明：我们只需要证明从第n-f（n）+1行开始，每行都可以放一个皇后就可以了；

首先，按照上面的构造可知，如此构造，皇后是不可以互相攻击的；

然后，由于第i行有i个元素，所以有 1+2k<=n-f（n）+1+k；

解得，k <= n-f（n）>= f(n)/2，因此至少有一半是奇数点；

偶数点只要插入到奇数点之间就可以构造了，构造成功。

说明：（2011-09-19 01:28）。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
bool M[ 1001 ][ 1001 ];
int  F[ 1005 ];
int  A[ 668 ];
int  B[ 668 ];

int main()
{
    /* 递推公式
    memset( F, 0, sizeof( F ) );
    F[ 0 ] = 0;F[ 1 ] = 1;F[ 2 ] = 1;
    for ( int i = 3 ; i <= 1000 ; ++ i )
        F[ i ] = F[ i-3 ] + 2;
    */
    for ( int i = 1 ; i <= 1000 ; ++ i )
        F[ i ] = (2*i+1)/3;
    int c,n;
    while ( scanf("%d",&c) != EOF )
    for ( int t = 1 ; t <= c ; ++ t ) {
        memset( M, 0, sizeof( M ) );

        scanf("%d",&n);
        printf("%d %d %d\n",t,n,F[ n ]);

        int y = n-F[ n ]+1;
        int x = 1;
        for ( int i = 0 ; i < F[ n ] ; ++ i ) {
            A[ i ] = y;B[ i ] = x;
            M[ y ][ x ] = 1;
            y += 1;x += 2;
            if ( x > y ) x = 2;
        }
        /* 绘图部分
        for ( int p = 1 ; p <= n ; ++ p ) {
            for ( int q = 0 ; q < n-p ; ++ q )
                printf(" ");
            for ( int q = 1 ; q <= p ; ++ q )
                if ( M[ p ][ q ] )
                printf("* ");
                else
                    printf("@ ");
            printf("\n");
        }
        */
        printf("[%d,%d]",A[ 0 ],B[ 0 ]);
        for ( int i = 1 ; i < F[ n ] ; ++ i ) {
            if ( i%8 == 0 ) printf("\n");
            else printf(" ");
            printf("[%d,%d]",A[ i ],B[ i ]);
        }
        printf("\n\n");
    }
    return 0;
}