【问题描述】
克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的M个山洞。这些山洞顺时针编号为1,2,…,M。岛上住着N个野人，一开始依次住在山洞 C1,C2,…,CN中，以后每年，第i个野人会沿顺时针向前走Pi个洞住下来。每个野人i有一个寿命值Li，即生存的年数。下面四幅图描述了一个有6个 山洞，住有三个野人的岛上前四年的情况。三个野人初始的洞穴编号依次为1，2，3；每年要走过的洞穴数依次为3，7，2；寿命值依次为4，3，1。
奇怪的是，虽然野人有很多，但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中，使得小岛一直保持和平与宁静，这让科学家们很是惊奇。他们想知道，至少有多少个山洞，才能维持岛上的和平呢？
【输入文件】
输入文件的第1行为一个整数N(1<=N<=15)，即野人的数目。第2行到第N+1每行为三个整数Ci, Pi, Li (1<=Ci,Pi<=100, 0<=Li<=106 )，表示每个野人所住的初始洞穴编号，每年走过的洞穴数及寿命值。
【输出文件】
输出文件仅包含一个数M，即最少可能的山洞数。输入数据保证有解，且M不大于10^6。
solution
(其实这个题根据 M不大于10^6 知道要枚举M)
我一开始思路是：
设当前总共的洞穴数是m个
对于每两个野人，如果他们会相遇，那么会有
(C[i]+k*P[i])≡(C[j]+k*P[j]) (%m)
即 m*t1=C[i]+k*P[i]...① m*t2=C[j]+k*P[j]...②
①+②得 m*(t1+t2)-(P[i]+P[j])*k=C[i]+C[j]
可是这样没法解方程，就放弃了
看题解是：
对于野人i (C[i]+k*P[i])%m=S1→C[i]+k*P[i]-k1*m=S1
对于野人j (C[j]+k*P[j])%m=S2→C[j]+k*P[j]-k2*m=S2
相遇的条件是 S1==S2
所以两式相减 (P[i]-P[j])*k+x*m=C[j]-C[i] (此时野人相遇S1==S2)
最后如果方程 无解 OR k>L[i]||k>L[j] 即为不相遇
1 #include<cstring>
2 #include<cstdio>
3 #include<iostream>
4 #include<cstdlib>
5 #define ll long long
6 #define dd double
7 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
8 using namespace std;
9 inline int maxn(int a,int b){return a>b?a:b;}
10 int gcd(int x,int y){return y==0?x:gcd(y,x%y);}
11
12 int n,be;
13 int C[21],p[21],L[21];
14
15 void egcd(int a,int b,int &x,int &y)
16 {
17 if(b==0)
18 {
19 x=1;
20 y=0;
21 return ;
22 }
23 egcd(b,a%b,x,y);
24 int temp=x;
25 x=y;
26 y=temp-a/b*y;
27 }
28
29 int check(int now)
30 {
31 int x,y,d,a,b,c;
32 for(int i=1;i<=n;++i)
33 for(int j=i+1;j<=n;++j)
34 {
35 a=p[i]-p[j];
36 b=now;
37 c=C[j]-C[i];
38 d=gcd(a,b);
39
40 if(c%d!=0)
41 continue;
42 a/=d;
43 b/=d;
44 c/=d;
45 egcd(a,b,x,y);
46 b=abs(b);
47 x=((x*c)%b+b)%b;
48 if(x==0)
49 x+=b;
50 if(x<=min(L[i],L[j]))
51 return 0;
52 }
53 return 1;
54 }
55
56 int main(){
57
58 //freopen("savage.in","r",stdin);
59 //freopen("savage.out","w",stdout);
60
61 //freopen("1.txt","r",stdin);
62
63 scanf("%d",&n);
64 for(int i=1;i<=n;++i)
65 {
66 scanf("%d%d%d",&C[i],&p[i],&L[i]);
67 be=maxn(be,C[i]);
68 }
69 for(int i=be;i<=1000000;++i)
70 if(check(i))
71 {
72 cout<<i;
73 break;
74 }
75 //while(1);
76 return 0;
77 }
code
最后再复习一下扩展欧几里得算法：
对于 ax+by=c
1.如果 c%gcd!=0，无解
2.求出gcd=gcd(a,b) a/=gcd b/=gcd c/=gcd 先约分
3.egcd 解方程
4.x*c y*c 是此方程一组解
5.如果要 求x，那么b=abs(b)，x=x0+b*t(b已经约分，不用再/gcd)
求y也一样
1 int gcd(int x,int y)
2 {
3 return y==0?x:gcd(y,x%y);
4 }
5
6 void egcd(int a,int b,int &x,int &y)
7 {
8 if(b==0)
9 {
10 x=1;
11 y=0
12 return ;
13 }
14 int temp=x;
15 x=y;
16 y=temp-a/b*y;
17 }
18
19 int cal(int a,int b,int c)
20 {
21 int x,y,d;
22 d=gcd(a,b);
23 if(c%d)
24 return -1;
25 a/=d;b/=d;c/=d;
26 egcd(a,b,x,y);
27 x=((c*x)%b+b)%b;
28 if(x==0)x+=b;
29 return x;
30 }
解方程