CF438E The Child and Binary Tree

题目

生成函数就是好，什么题目都能搞

先来列一个暴力\(dp\)，\(dp_i\)表示形成\(i\)点权的二叉树的方案数

我们可以直接列出方程

\[
dp_i=\sum_{k=1}^n\sum_{j=0}^{i-c_k}dp_jdp_{i-c_k-j}
\]

边界条件\(dp_0=1\)

发现里面类似卷积，于是生成函数来搞

\[
F(x)=\sum_{i=0}([i=0]+\sum_{k=1}^n\sum_{j=0}^{i-c_k}dp_jdp_{i-c_k-j})x^i
\]

\[
F(x)=1+\sum_{k=1}^nx^{c_k}\sum_{j=0}^{i-c_k}dp_jx^j\times dp_{i-c_k-j}x^{i-c_k-j}
\]

发现里面就是\(F^2(x)\)，于是

\[
F(x)=1+\sum_{k=1}^nx^{c_k}F^2(x)
\]

发现有一个乘以\(x^{c_k}\)之后再求和，设那个多项式为\(G(x)\)，不就是卷上那边的那个多项式吗

\[
F(x)=1+G(x)F^2(x)
\]

于是我们可以解方程了

发现

\[
F(x)=\frac{1\pm \sqrt{1-4G(x)}}{2G(x)}
\]

发现取正不收敛，于是

\[
F(x)=\frac{1- \sqrt{1-4G(x)}}{2G(x)}=\frac{4G(x)}{2G(x)(1+\sqrt{1-4G(x)})}=\frac{2}{1+\sqrt{1-4G(x)}}
\]

于是我们多项式求逆+多项式开根就能搞了

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
const int maxn=262144+1005;
inline int read() {
    char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
const LL mod=998244353;
const LL G[2]={3,332748118};
LL A[maxn],B[maxn],C[maxn],K[maxn],D[maxn],H[maxn],T[maxn],F[maxn];
LL a[maxn],b[maxn];
int n,m,rev[maxn],len;
inline LL ksm(LL a,int b) {LL S=1;while(b){if(b&1) S=S*a%mod;b>>=1;a=a*a%mod;}return S;}
inline void NTT(LL *f,int o) {
    for(re int i=0;i<len;i++) if(i<rev[i]) std::swap(f[i],f[rev[i]]);
    for(re int i=2;i<=len;i<<=1) {
        int ln=i>>1;LL og1=ksm(G[o],(mod-1)/i);
        for(re int l=0;l<len;l+=i) {
            LL t,og=1;
            for(re int x=l;x<l+ln;x++) {
                t=(og*f[ln+x])%mod;
                f[ln+x]=(f[x]-t+mod)%mod;
                f[x]=(f[x]+t)%mod;
                og=(og*og1)%mod;
            }
        }
    }
    if(!o) return;
    LL inv=ksm(len,mod-2);
    for(re int i=0;i<len;i++) f[i]=(f[i]*inv)%mod;
}
inline void mul(LL *A,LL *B,int n) {
    len=1;while(len<n+n) len<<=1;
    for(re int i=0;i<len;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?len>>1:0);
    NTT(A,0),NTT(B,0);
    for(re int i=0;i<len;i++) A[i]=(A[i]*B[i])%mod;
    NTT(A,1);for(re int i=n;i<len;i++) A[i]=0;
}
inline void Inv(int n,LL *A,LL *B) {
    if(n==1) {B[0]=ksm(A[0],mod-2);return;}
    Inv((n+1)>>1,A,B);
    memset(C,0,sizeof(C));memset(K,0,sizeof(K)),memset(D,0,sizeof(D));
    for(re int i=0;i<n;i++) C[i]=A[i],D[i]=K[i]=B[i];
    mul(K,C,n);mul(K,D,n);
    for(re int i=0;i<n;i++) B[i]=(2ll*B[i]-K[i]+mod)%mod;
}
inline void Sqrt(int n,LL *A,LL *B) {
    if(n==1) {B[0]=1;return;}
    Sqrt((n+1)>>1,A,B);
    memset(H,0,sizeof(H));memset(F,0,sizeof(F));memset(T,0,sizeof(T));
    for(re int i=0;i<n;i++) F[i]=B[i],T[i]=2ll*B[i];
    Inv(n,T,H);mul(B,F,n);
    for(re int i=0;i<n;i++) B[i]=(B[i]+A[i])%mod;
    mul(B,H,n);
}
int main() {
    n=read(),m=read();
    for(re int i=1;i<=n;i++) a[read()]+=4;
    for(re int i=0;i<=m;i++) a[i]=mod-a[i],a[i]%=mod;
    a[0]++;Sqrt(m+1,a,A);A[0]++;Inv(m+1,A,b);
    for(re int i=1;i<=m;i++) printf("%lld\n",2ll*b[i]%mod);
    return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/asuldb/p/10546568.html