2014考研数学一 第四题

若$$\int_{-\pi}^{\pi}(x-a\cos x-b\sin x)^2dx=\min\limits_{a,b\in R}\{\int_{-\pi}^{\pi}(x-a\cos x-b\sin x)^2dx\},$$则$a\cos x+b\sin x=(\qquad)$

$(A)2\sin x\qquad\qquad\qquad\qquad (B)2\cos x\\(C)2\pi \sin x\qquad\qquad\qquad\qquad (D)2\pi\cos x.$

解：本题可以看做是一个函数题：$$F(a,b)=\int_{-\pi}^{\pi}(x-a\cos x-b\sin x)^2dx,$$

因为$a,b\in R,$所以$F(a,b)$的最小值必是其极小值，所以

$$\frac{\partial F}{\partial a}=0,\frac{\partial F}{\partial b}=0$$

由含参积分求偏导，不难算出$a=0,b=2$,

所以答案选择$A$.