给你一个N个顶点M条边的带权有向图，要你把该图分成一个或多个不相交的有向环。且所有定点都被有向环覆盖。问你该有向环所有权值的总和最小是多少?
答案就是：有向环最大权值覆盖=最优匹配。
分析：
我们把任意一个顶点i都分成两个,即i和i’. 如果原图存在i->j的边,那么二分图有i->j’的边.
下面我们要引出几条结论:
① 如果原图能由多个不相交的有向环覆盖，那么二分图必然存在完备匹配。他们互为充要条件，也就是说如果二分图存在完备匹配,那么原图必定能由几个不想交的有向环覆盖.
② 如果原图存在权值最大的有向环覆盖，那么二分图的最优匹配一定就是这个值。即权值最大的有向环覆盖在数值上等于改图的最优匹配值。
因为该有向环覆盖对应了一个二分图的完备匹配,而该完备匹配的权值就等于该有向环覆盖的权值,所以最优匹配不可能丢失该最大权值的匹配。
(假设原图的有向环为(1->2->3->1) and(6->5->4->6),那么二分图的完备匹配就是1->2’ 2->3’ 3->1’ 6->5’ 5->4’ 4->6’)
(假设二分图的完备匹配是1->2’ 2->3’ 3->1’ 6->5’ 5->4’ 4->6’那么原图的有向环为(1->2->3->1) and (6->5->4->6))
例如HDU1853：
现在原题要求的是最小权匹配,我们把所有已知边的权值都取负数,且那些不存在的边我们取-INF(负无穷). 如果完备匹配存在,那么我们求出的最优匹配权值的绝对值 肯定<INF. 且该绝对值就是最小权值匹配.
如果完备匹配不存在,那么最优匹配权值的绝对值肯定>INF.(想想是不是) 或者这么说,如果最终求得的匹配中,有任何一个匹配边用了权值为负无穷的边,那么最优匹配不存在(即完备匹配不存在)
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<queue>
4 #define _Clr(x, y) memset(x, y, sizeof(x))
5 #define INF 0x3f3f3f3f
6 #define N 1005
7 using namespace std;
8
9 int mat[N][N], match[N];
10 int lx[N], ly[N];
11 int slack[N];
12 bool used_x[N], used_y[N];
13 int n, m;
14
15 bool dfs(int x)
16 {
17 used_x[x] = true;
18 for(int i=1; i<=n; i++)
19 {
20 if(used_y[i]) continue;
21 int t = lx[x] + ly[i] - mat[x][i];
22 if(t==0)
23 {
24 used_y[i] = true;
25 if(match[i]==-1 || dfs(match[i]))
26 {
27 match[i] = x;
28 return true;
29 }
30 }
31 else slack[i] = min(slack[i], t);
32 }
33 return false;
34 }
35
36 int KM()
37 {
38 _Clr(match, -1);
39 _Clr(ly, 0);
40 for(int i=1, j; i<=n; i++)
41 for(j=1, lx[i]=-INF; j<=n; j++)
42 lx[i] = max(lx[i], mat[i][j]);
43 for(int x=1; x<=n; x++)
44 {
45 _Clr(slack, INF);
46 while(1)
47 {
48 _Clr(used_x, 0);
49 _Clr(used_y, 0);
50 if(dfs(x)) break;
51 int d=INF;
52 for(int i=1; i<=n; i++)
53 if(!used_y[i] && d>slack[i])
54 d = slack[i];
55 for(int i=1; i<=n; i++)
56 if(used_x[i])
57 lx[i] -= d;
58 for(int i=1; i<=n; i++)
59 if(used_y[i])
60 ly[i] += d;
61 else slack[i] -= d;
62 }
63 }
64 int ans=0;
65 for(int i=1; i<=n; i++)
66 {
67 if(match[i]==-1 || mat[match[i]][i]==-INF) return -1;
68 ans += mat[match[i]][i];
69 }
70 return -ans;
71 }
72 int main()
73 {
74 int m, a, b, c;
75 while(~scanf("%d%d", &n, &m))
76 {
77 for(int i=1; i<=n; i++)
78 for(int j=1; j<=n; j++)
79 mat[i][j]=-INF;
80 while(m--)
81 {
82 scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
83 mat[a][b] = max(mat[a][b], -c);
84 }
85 printf("%d\n", KM());
86 }
87 return 0;
88 }