背包问题学习笔记(一)

腾讯2014研发笔试涉及到了0-1背包问题,由此展开了背包问题的学习。

腾讯试题:“背包题目”的基本描述是:有一个背包,能盛放的物品总重量为S,设有N件物品,其重量分别为w1,w2,…,wn,希看从N件物品中选择若干物品,所选 物品的重量之和恰能放进该背包,即所选物品的重量之和即是S。递回和非递回解法都能求得“背包题目”的一组解,试写出“背包题目”的非递回解法。

以下内容转自http://zh.wikipedia.org/zh/%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98

背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化NP完全问题。问题可以描述为:给定一组物品,每种物品都有自己的重量和价格,在限定的总重量内,我们如何选择,才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。

相似问题经常出现在商业、组合数学计算复杂性理论密码学应用数学等领域中。

也可以将背包问题描述为决定性问题,即在总重量不超过W的前提下,总价值是否能达到V

0-1背包问题,以下内容转自http://blog.csdn.net/fg2006/article/details/6766384

动态规划的基本思想:

将一个问题分解为子问题递归求解,且将中间结果保存以避免重复计算。通常用来求最优解,且最优解的局部也是最优的。求解过程产生多个决策序列,下一步总是依赖上一步的结果,自底向上的求解。

动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤:

1. 描述一个最优解的结构,寻找子问题,对问题进行划分。

2. 定义状态。往往将和子问题相关的各个变量的一组取值定义为一个状态。某个状态的值就是这个子问题的解(若有k个变量,一般用K维的数组存储各个状态下的解,并可根   
据这个数组记录打印求解过程。)。

3. 找出状态转移方程。一般是从一个状态到另一个状态时变量值改变。

4.以“自底向上”的方式计算最优解的值。

5. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。(最优解是问题达到最优值的一组解)

其中步骤1~4是动态规划求解问题的基础,如果题目只要求最优解的值,则步骤5可以省略。

背包问题

01背包:
有N件物品和一个重量为M的背包。(每种物品均只有一件)第i件物品的重量是w[i],价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

完全背包:
有N种物品和一个重量为M的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的重量是w[i],价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包重量,且价值总和最大。

多重背包:
有N种物品和一个重量为M的背包。第i种物品最多有n[i]件可用,每件重量是w[i],价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包重量,且价值总和最大。

01背包问题:

这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。

用子问题定义状态:即c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:

c[i][m]=max{c[i-1][m],c[i-1][m-w[i]]+p[i]}

这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前i件物品放入重量为m的背包中”这个子问
题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放
入容量为v的背包中”,价值为c[i-1][m];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的重量为m-w[i]的背包中”,此时能
获得的最大价值就是c[i-1][m-w[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值p[i]。

测试数据:
10,3
3,4
4,5
5,6

c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背
包容量为4,5,6,....10的时候,最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候,最佳方案还是上一排的最价方
案c为4.而背包容量为5的时候,则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候,很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排
c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳
方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)

public class Pack01 {

	public int [][] pack(int m,int n,int w[],int p[]){
		//c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值
		int c[][]= new int[n+1][m+1];
		for(int i = 0;i<n+1;i++)
			c[i][0]=0;
		for(int j = 0;j<m+1;j++)
			c[0][j]=0;
		//
		for(int i = 1;i<n+1;i++){
			for(int j = 1;j<m+1;j++){
				//当物品为i件重量为j时,如果第i件的重量(w[i-1])小于重量j时,c[i][j]为下列两种情况之一:
				//(1)物品i不放入背包中,所以c[i][j]为c[i-1][j]的值
				//(2)物品i放入背包中,则背包剩余重量为j-w[i-1],所以c[i][j]为c[i-1][j-w[i-1]]的值加上当前物品i的价值
				if(w[i-1]<=j){
					if(c[i-1][j]<(c[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1]))
						c[i][j] = c[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1];
					else
						c[i][j] = c[i-1][j];
				}else
					c[i][j] = c[i-1][j];
			}
		}
		return c;
	}
    /**
     * 逆推法求出最优解
     * @param c
     * @param w
     * @param m
     * @param n
     * @return
     */
    public int[] printPack(int c[][],int w[],int m,int n){

        int x[] = new int[n];
        //从最后一个状态记录c[n][m]开始逆推
        for(int i = n;i>0;i--){
            //如果c[i][m]大于c[i-1][m],说明c[i][m]这个最优值中包含了w[i-1](注意这里是i-1,因为c数组长度是n+1)
            if(c[i][m]>c[i-1][m]){
                x[i-1] = 1;
                m-=w[i-1];
            }
        }
        for(int j = 0;j<n;j++)
            System.out.println(x[j]);
        return x;
    }
	public static void main(String args[]){
		int m = 10;
		int n = 3;
		int w[]={3,4,5};
		int p[]={4,5,6};
		Pack01 pack = new Pack01();
		int c[][] = pack.pack(m, n, w, p);
		pack.printPack(c, w, m,n);
	}
}
时间: 2024-10-10 23:23:04

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