引言
何为大矩阵?Excel、SPSS,甚至SAS处理不了或者处理起来非常困难,需要设计巧妙的分布式方法才能高效解决基本运算(如转置、加法、乘法、求逆)的矩阵,我们认为其可被称为大矩阵。这意味着此种矩阵的维度至少是百万级的、经常是千万级的、有时是亿万级的。举个形象的栗子。至2012年12月底,新浪微博注册用户数超5亿,日活跃用户4629万[1],如果我们要探索这4000多万用户可以分成哪些类别,以便深入了解用户共同特征,制定精准营销策略,势必要用到聚类相关的算法(比如新浪大牛张俊林就利用聚类算法来挖掘新浪微博中的兴趣圈子[2]),而聚类算法都需要构造用户两两之间的关系,形成n*n的矩阵,称为相似度矩阵。新浪微博这个例子中,这个矩阵的维度是4000万*4000万。
大矩阵乘法为何重要?这个时代(我就不说那个被媒体用烂了的恶心词汇了),在海量数据中淘金,已是各大互联网公司的既定目标,亚马逊是数据化运营的成功典范,Google、百度投巨资用于对海量数据进行深度学习(Deep Learning)研究,阿里把数据与平台、金融并列成为未来三大战略。话扯得有点大而远,但任何伟大的战略,最终都要落地到非常细粒度的具体操作上。我们想在海量数据中淘到金子,强大的挖掘工具是必不可少的,而诸如回归、聚类、主成分分析、决策树等数据挖掘算法常常涉及大规模矩阵运算。这其中,大矩阵乘法具有较大的时间消耗,是算法的瓶颈。张俊林的文章[2]用到了谱聚类算法,其中有个重要步骤是将相似度矩阵转换为拉普拉斯矩阵,这就需要用到大矩阵乘法。很酷有没有!大矩阵乘法运算可以从根基上影响数据战略的实施,它比那些大而空的废话重要千百万倍。
我们将使用MapReduce来分布式计算大矩阵乘法。伟大导师黑格尔告诉我们,量变导致质变。当所操作的矩阵维度达到百万、千万级时,会产生亟待攻克的新问题:
- 大矩阵如何存储?
- 计算模型如何设计?
- 矩阵维度如何传递给乘法运算?
第3个问题看似与矩阵的“大”无关,但实际上,当矩阵规模巨大时,我们就不太可能像对待小规模矩阵一样将整个矩阵读入内存、从而在一个job中就判断出其维度,而是需要分开成为两个job,第一个job专注于计算矩阵维度并存入全局变量,传递给第二个job做乘法运算。MapReduce中全局变量的传递,可以专门写一篇长文来讨论,本文中我们假定矩阵维度已知,并在代码中写死,从而先着眼于解决前两个问题。
数据准备
为了方便说明,举两个矩阵作为示例:
,
容易看出,是一个矩阵,是一个矩阵,我们能够算出:
这三个矩阵当然不大,但作为示例,它们将暂时享受大矩阵的待遇。
存储方式
理论上,在一个文件中存储4000万*4000万的矩阵当然是可以的,但非常失之优雅,因为这意味着在一条记录中挤下4000万个变量的值。
我们注意到,根据海量数据构造的矩阵,往往是极其稀疏的。比如4000万*4000万的相似度矩阵,一般来说,如果平均每个用户和1万个用户具有大于零的相似度,常识告诉我们,这样的关系网络已经非常密集了(实际网络不会这样密集,看看自己的微博,被你关注的、评论过的、转发过的对象,会达到1万个吗?);但对于4000万维度的矩阵,它却依然是极度稀疏的。
因此,我们可以采用稀疏矩阵的存储方式,只存储那些非零的数值。具体而言,存储矩阵的文件每一条记录的结构如下:
其中,第一个字段为行标签,第二个字段为列标签,第三个字段值为。
比如矩阵在HDFS中存储为
1 1 1
1 2 2
1 3 3
2 1 4
2 2 5
3 1 7
3 2 8
3 3 9
4 1 10
4 2 11
4 3 12
矩阵存储为
1 1 10
1 2 15
2 2 2
3 1 11
3 2 9
注意到,,这样的值不会在文件中存储。
计算模型
回顾一下矩阵乘法。
设,,那么
矩阵乘法要求左矩阵的列数与右矩阵的行数相等,的矩阵,与的矩阵相乘,结果为的矩阵。
现在我们来分析一下,哪些操作是相互独立的(从而可以进行分布式计算)。很显然,的计算和的计算是互不干扰的;事实上,中各个元素的计算都是相互独立的。这样,我们在Map阶段,可以把计算所需要的元素都集中到同一个key中,然后,在Reduce阶段就可以从中解析出各个元素来计算;的其他元素的计算同理。
我们还需要注意,会被、……的计算所使用,会被、……的计算所使用。也就是说,在Map阶段,当我们从HDFS取出一行记录时,如果该记录是的元素,则需要存储成个<key, value>对,并且这个key互不相同;如果该记录是的元素,则需要存储成个<key, value>对,同样的,个key也应互不相同;但同时,用于计算的、存放、……和、……的<key, value>对的key应该都是相同的,这样才能被传递到同一个Reduce中。
经过以上分析,整个计算过程设计为:
(1)在Map阶段,把来自表的元素,标识成条<key, value>的形式。其中,;把来自表的元素,标识成条<key, value>形式,其中,。
于是乎,在Map阶段,我们实现了这样的战术目的:通过key,我们把参与计算的数据归为一类。通过value,我们能区分元素是来自还是,以及具体的位置。
(2)在Shuffle阶段,相同key的value会被加入到同一个列表中,形成<key, list(value)>对,传递给Reduce,这个由Hadoop自动完成。
(3)在Reduce阶段,有两个问题需要自己问问:
- 当前的<key, list(value)>对是为了计算的哪个元素?
- list中的每个value是来自表或表的哪个位置?
第一个问题可以从key中获知,因为我们在Map阶段已经将key构造为形式。第二个问题,也可以在value中直接读出,因为我们也在Map阶段做了标志。
接下来我们所要做的,就是把list(value)解析出来,来自的元素,单独放在一个数组中,来自的元素,放在另一个数组中,然后,我们计算两个数组(各自看成一个向量)的点积,即可算出的值。
示例矩阵和相乘的计算过程如下图所示:
代码
主要代码如下:
[java] view plaincopyprint?
- import java.io.IOException;
- import java.util.HashMap;
- import java.util.Iterator;
- import java.util.StringTokenizer;
- import org.apache.hadoop.fs.FileSystem;
- import org.apache.hadoop.io.LongWritable;
- import org.apache.hadoop.io.Text;
- import org.apache.hadoop.io.Writable;
- import org.apache.hadoop.io.WritableComparable;
- import org.apache.hadoop.mapred.FileSplit;
- import org.apache.hadoop.mapred.JobConf;
- import org.apache.hadoop.mapred.MapReduceBase;
- import org.apache.hadoop.mapred.Mapper;
- import org.apache.hadoop.mapred.OutputCollector;
- import org.apache.hadoop.mapred.RecordWriter;
- import org.apache.hadoop.mapred.Reducer;
- import org.apache.hadoop.mapred.Reporter;
- import org.apache.hadoop.mapred.TextOutputFormat;
- import org.apache.hadoop.mapred.lib.MultipleOutputFormat;
- import org.apache.hadoop.util.Progressable;
- public class Bigmmult {
- public static final String CONTROL_I = "\u0009";
- public static final int MATRIX_I = 4;
- public static final int MATRIX_J = 3;
- public static final int MATRIX_K = 2;
- public static String makeKey(String[] tokens, String separator) {
- StringBuffer sb = new StringBuffer();
- boolean isFirst = true;
- for (String token : tokens) {
- if (isFirst)
- isFirst = false;
- else
- sb.append(separator);
- sb.append(token);
- }
- return sb.toString();
- }
- public static class MapClass extends MapReduceBase implements
- Mapper<LongWritable, Text, Text, Text> {
- public static HashMap<String , Double> features = new HashMap<String, Double>();
- public void configure(JobConf job) {
- super.configure(job);
- }
- public void map(LongWritable key, Text value, OutputCollector<Text, Text> output,
- Reporter reporter) throws IOException, ClassCastException {
- // 获取输入文件的全路径和名称
- String pathName = ((FileSplit)reporter.getInputSplit()).getPath().toString();
- if (pathName.contains("m_ys_lab_bigmmult_a")) {
- String line = value.toString();
- if (line == null || line.equals("")) return;
- String[] values = line.split(CONTROL_I);
- if (values.length < 3) return;
- String rowindex = values[0];
- String colindex = values[1];
- String elevalue = values[2];
- for (int i = 1; i <= MATRIX_K; i ++) {
- output.collect(new Text(rowindex + CONTROL_I + i), new Text("a#"+colindex+"#"+elevalue));
- }
- }
- if (pathName.contains("m_ys_lab_bigmmult_b")) {
- String line = value.toString();
- if (line == null || line.equals("")) return;
- String[] values = line.split(CONTROL_I);
- if (values.length < 3) return;
- String rowindex = values[0];
- String colindex = values[1];
- String elevalue = values[2];
- for (int i = 1; i <= MATRIX_I; i ++) {
- output.collect(new Text(i + CONTROL_I + colindex), new Text("b#"+rowindex+"#"+elevalue));
- }
- }
- }
- }
- public static class Reduce extends MapReduceBase
- implements Reducer<Text, Text, Text, Text> {
- public void reduce(Text key, Iterator<Text> values,
- OutputCollector<Text, Text> output, Reporter reporter)
- throws IOException {
- int[] valA = new int[MATRIX_J];
- int[] valB = new int[MATRIX_J];
- int i;
- for (i = 0; i < MATRIX_J; i ++) {
- valA[i] = 0;
- valB[i] = 0;
- }
- while (values.hasNext()) {
- String value = values.next().toString();
- if (value.startsWith("a#")) {
- StringTokenizer token = new StringTokenizer(value, "#");
- String[] temp = new String[3];
- int k = 0;
- while(token.hasMoreTokens()) {
- temp[k] = token.nextToken();
- k++;
- }
- valA[Integer.parseInt(temp[1])-1] = Integer.parseInt(temp[2]);
- } else if (value.startsWith("b#")) {
- StringTokenizer token = new StringTokenizer(value, "#");
- String[] temp = new String[3];
- int k = 0;
- while(token.hasMoreTokens()) {
- temp[k] = token.nextToken();
- k++;
- }
- valB[Integer.parseInt(temp[1])-1] = Integer.parseInt(temp[2]);
- }
- }
- int result = 0;
- for (i = 0; i < MATRIX_J; i ++) {
- result += valA[i] * valB[i];
- }
- output.collect(key, new Text(Integer.toString(result)));
- }
- }
- }