PID是比例，积分，微分的英文单词的首字母的简称。下面举个例子说明一下PID，让大家有个感官的认识。
一个人闭眼走路，假设他知道自己离目的地有100米远，那么他就以每步1米的速度走向目的地，100米刚刚好是100步，这是一个非常理想化的现象。假设他不知道目的地有多远，目的地可能是1000米也有可能是10000米，他就用每步3米的速度向前走，很不巧的是这个目的地在80米处，他走了26步时刚刚好差2米，走27步有刚刚好又多出1米，这就是所谓的稳态误差。如果他知道目的地在大概15米处得地方，开始这个人以每步1米的速度，走完一步然后目测一下离目的地还有多远，结果发现还剩下大概14米，显然每步1米太慢了，因此决定每步要大于1米。得出一条式子： y= Kp *e(t)
y为下一次每步要走的距离，e(t) 为目测距离，也就是偏差， Kp就是一个常数。
假设我们把Kp设置为0.5，由公式 y= Kp *e(t) 可以得出 y=7；也就是说他下一步要以每秒7米得速度走，重复上述的过程。己经走了7+1米，然后目测一下15米的目的地处，还有7米得误差。所以下一步要走3.5米，然后在重复，发现最后会出现一个稳态的误差，也就是多走一步会超出目的地，少走一步又没到目的地。当然这个上述的例子情况非常特殊，大家可能觉得最后那些误差可以忽略，但是实际应用中，肯定没有人走路的那么特殊，按照这种线性比例下去最后得到的误差会非常大，所以就引入了一个积分的概念。
积分跟比例的专业阐述：
比例（P）控制
比例控制是一种最简单的控制方式。其控制器的输出与输入误差信号成比例关系。当仅有比例控制时系统输出存在稳态误差。
积分（I）控制
在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。对一个自动控制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，则称这个控制系统是有稳态误差的或简称有差系统。为了消除稳态误差，在控制器中必须引入“积分项”。积分项对误差的消除取决于积分的时间，随着时间的增加，积分项会增大。即便误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小，直到等于零。比例+积分(PI)控制器，可以使系统在进入稳态后无稳态误差。
微分的专业阐述：
控制器的输出与输入误差信号的微分（即误差的变化率）成正比关系。 自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡甚至失稳。其原因是由于存在有较大惯性组件（环节）或有滞后(delay)组件，具有抑制误差的作用，其变化总是落后于误差的变化。解决的办法是使抑制误差的作用的变化“超前”，即在误差接近零时，抑制误差的作用就应该是零。这就是说，在控制器中仅引入 “比例”项往往是不够的，比例项的作用仅是放大误差的幅值，而目前需要增加的是“微分项”，它能预测误差变化的趋势。具有比例+微分(PD)的控制器，就能够提前使抑制误差的控制作用等于零，甚至为负值，从而避免了被控量的严重超调。所以对有较大惯性或滞后的被控对象，比例+微分(PD)控制器能改善系统在调节过程中的动态特性。
微分调节就是偏差值的变化率。例如，如果输入偏差值线性变化，则在调节器输出侧叠加一个恒定的调节量。大部分控制系统不需要调节微分时间。因为只有时间滞后的系统才需要附加这个参数。如果画蛇添足加上这个参数反而会使系统的控制受到影响。举个例子，人去调节窝炉的温度，慢慢调节旋钮，使得温度慢慢变大，要使得温度达到某个固定值，人可以慢慢调节，边看温度边调节。如果开始调节时离目标温度相差较大就可以快速旋旋钮（比例效果），到最后要使得温度误差小就微调（积分效果）。然后实际上温度是有一个惯性在那里，开始你以很快速度调节旋钮的时候温度不会突变，不会一下子就达到稳定值，它慢慢增加到最后，当他看到温度值离目标温度还差这么远，又加快旋转旋钮，最终结果导致实际温度跟目标温度差别非常远，微调也跟本没法调整，最后导致系统的不稳定。但是如果这个人很有经验，他事先知道这个温度是有惯性的，开始它快速旋转旋钮看温度上升率非常高，也就是温度变化非常快，他就放慢旋转速度了，最后结果是准确的把温度调整到最佳（微分效果）。
综上所述得到PID公式:
PID可分为增量式PID和位置式PID。其实PID的算法可以做很深，但没必要，一般入门级的算法已经在很多场合够用了，增量式PID算法运算量少，非常适合单片机的应用。显然要想给单片机运算，就必须是数字量，而上述的PID是模拟PID，我们要将他数字化，离散化。
积分定义
设f(x)在[a,b]上有界，任意插入若干个分点 a=x0<x1<...<xn-1<xn=b把区间[a，b]分成n个小区间[x0，x1]...[xn-1，xn]。在小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi)， f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi，并作出和。
如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作：
微分定义
我们可以想象把上图中的f（x）换成e（t），x轴换成t轴，把△x换成△t，当△x非常小的时候曲线MN等价于直线MN，△y就等于dy，所以
增量式PID算法实现:
PID离散化得到在k-1时刻的输出
因此得到一个增量