树状数组（初识）

参考：树状数组

简述：一个用来求数组列前缀和的数据结构，可以在O( log(n) )的时间内得到数列的任意前缀和，同样以相同时间对某项加一个常数，是一个很强大的数据结构。

认识：有段时间一直以为树状数组就是普通的数组，只不过可以用它来存储二叉查找树，后来才知道这货其实是一个很难的东西。不过说难，其实它也是一个蛮简单、蛮好入手的一个东西——关键代码相当简洁，只是有点难以理解，但是，用一个图就可以表达清楚了：

PS：这里盗图一用（来源）

如果还没有清楚，很正常，来看看一个具体的例子：

有数组a，a = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，然后有一个bit数组，储存树状数组用的，它的值如下：

bit[1] = a[1] ;

bit[2] = a[1]+a[2] ;

bit[3] = a[3];

bit[4] = a[1]+a[2]+a[3]+a[4] ;

bit[5] = a[5] ;

bit[6] = a[5]+a[6];

bit[7] = a[7] ;

bit[8] = a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8] .

然后可以发现，上面这个数组的各个值，又有一个规律：

bit[1] = a[1] ;

bit[2] = a[2]+bit[1] ;

bit[3] = a[3];

bit[4] = a[4]+bit[2]+bit[3] ;

bit[5] = a[5] ;

bit[6] = a[6]+bit[5] ;

bit[7] = a[7] ;

bit[8] = a[8]+bit[4]+bit[6]+bit[7] .

把上面的八个式子跟那个图对应着看，有没有发现什么神奇的东西？

嗯，其实那个图，想表达的就是那几个式子，从那几个例子我们其实可以隐隐约约看出bit数组的规律，但是这东西怎么用程序来表达呢？

1、首先得有一个预备函数lowbit( int )，返回参数转为二进制后最后一个1的位置代表的数值：

int lowbit(int num){
    return num&(-num);
}

这里用了一些位运算操作。

2、然后就是bit数组的构建了，等于啥呢？

void build()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        bit[i]=a[i];
        for(int j=i-1;j>i-lowbit(i);j-=lowbit(j))
            bit[i]+=bit[j];
    }
}

这段代码表达的就是那个图，至于为啥，读者自己思考吧，会有很大收获哦！

3、接下来看看这东西怎么做到高速求前缀和的：

int sum(int index)
{
    int res=0;
    for(int i=index;i>0;i-=lowbit(i))
        res+=bit[i];
    return res;
}

如果你理解了上面的build函数，那这段代码必然是秒懂，这里我就举个例子吧：

还是上面那个8位数组，用sum数组表示a数组的前缀和：

sum[1] = bit[1] ;

sum[2] = bit[2] ;

sum[3] = bit[2]+bit[3] ;

sum[4] = bit[4] ;

sum[5] = bit[4]+bit[5] ;

sum[6] = bit[4]+bit[6] ;

sum[7] = bit[4]+bit[6]+bit[7] ;

sum[8] = bit[8] .

参照代码想一下下……

4、修改怎么破，如果给a[i]增加Δ：

直接上代码吧：

void add(int index,int delta){
    for(int i=index;i<=n;i+=lowbit(i))
        bit[i]+=delta;
}

看懂了2，就看懂了3、4！

总结：

1、优美的数据结构，不能再美！

2、用二进制思考问题！