筛素数方法（二）—— MR素数判断

前言

\(Miller-Rabin\)素数测试是一个很好的筛素数方法，它的优点在于速度快且准确性较高，但依然有可能出错。

大致思路

\(MR\)素数测试利用费马小定理快速判断一个数是否是素数，但是由于这种方法只是较高概率不出现错误，并不是完全正确的，所以在时间充裕的情况下可不必使用这个方法。

具体实现

因为当\(n\)是素数，且\(gcd(a,n)=1\)时，\(a^{n?1}\equiv1(mod\ n)\)。

所以我们可以多随机几个\(a\)（用于增加算法的准确性），然后判断\(a^{n?1}\equiv1(mod\ n)\)成不成立。

由于\(n\)不是素数时\(a^{n?1}\equiv1(mod\ n)\)几乎不成立，所以如果多个\(a\)测试过后，\(a^{n?1}\equiv1(mod\ n)\)均成立，就可以认为\(n\)是素数了。

但是还有这么一种合数，对于任意\(p\)为素数，\(gcd(a,p)=1\)，\(a^{p?1}\equiv1(mod\ p)\)都成立。

这种数叫做卡迈克尔数（又称MR测试杀手）。

当然，这种数是很少的，在\(1\sim100000000\)范围内的整数中，只有\(255\)个卡迈克尔数。当碰到卡迈克尔数时，\(MR\)素数判断就毫无用武之地了（一个较好的方法是拿来特判）。

所以，在时间充裕的情况下，最好还是使用线性筛。

原文地址：https://www.cnblogs.com/chenxiaoran666/p/Miller_Rabin.html