【算法】PageRank

1、基本概念：PageRank 是基于【从许多优质的网页链接过来的网页，必定还是优质网页】的回归关系，来判定所有网页的重要性

2、具体算法：将某个页面的 PageRank 除以存在于这个页面的正向链接,由此得到的值分别和正向链接所指向的页面的 PageRank 相加，即是被链接的页面的 PageRank。

3、PageRank概念图：

4、PageRank的要点：

反向链接数 (单纯的意义上的受欢迎度指标)

反向链接是否来自推荐度高的页面 (有根据的受欢迎指标)

反向链接源页面的链接数 (被选中的几率指标)

5、例子来说明PageRank的具体过程

假设一个由4个页面组成的小团体：A、B、C、D。如果所有页面都链向A，那么A的PR（PageRank）值将是B，C及D的和。

PR(A) = PR(B) + PR(C) + PR(D)

继续假设B也有链接到C，并且D也有链接到包括A的3个页面。一个页面不能投票2次。所以B给每个页面半票。以同样的逻辑，D投出的票只有三分之一算到了A的PageRank上。

PR(A) = PR(B) / 2 + PR(C) + PR(D)/ 3

换句话说，根据链出总数平分一个页面的PR值

PR(A) = PR(B) / L(B) + PR(C) / L(C) + PR(D) / L(D)

为了防止没有外链的页面传递出去的PR是0，Google通过数学系统给每个页面分配一个很小的值(1-d)/N，以来表示该页面没有外链或者用户停止浏览直接jump

说明：

在Sergey Brin和Lawrence Page的1998年原文中给每一个页面设定的最小值是1-d，而不是这里的(1-d)/N（关于这一部分内容也可以参考英文版的维基百科词条）。 所以一个页面的PageRank是由其他页面的PageRank计算得到。Google不断的重复计算每个页面的PageRank。如果给每个页面一个随机PageRank值（非0），那么经过不断的重复计算，这些页面的PR值会趋向于稳定，也就是收敛的状态。

通过上述描述，简单总结PageRank的公式如下：

说明：处理那些“没有向外链接的页面”（这些页面就像“黑洞”会吞噬掉用户继续向下浏览的概率）带来的问题，（这里的被称为阻尼系数（damping factor），其意义是，在任意时刻，用户到达某页面后并继续向后浏览的概率。（就是用户停止点击，随机跳到新URL的概率）的算法被用到了所有页面上，估算页面可能被上网者放入书签的概率

是被研究的页面，是链入页面的集合，是链出页面的数量，而是所有页面的数量。

PageRank值是一个特殊矩阵中的特征向量。这个特征向量为

R是等式的答案

如果不链向，而且对每个都成立时，等于0

6、模拟html页面的关系，Java实现PageRank算法：

  1 package com.pachira.d;
  2
  3 public class PageRank {
  4     public static void main(String[] args) {
  5         double[][] G = {
  6                 {    0, 1, 1/2.0,     0, 1/4.0, 1/2.0,  0},
  7                 {1/5.0, 0, 1/2.0, 1/3.0,     0,     0,  0},
  8                 {1/5.0, 0,     0, 1/3.0, 1/4.0,     0,  0},
  9                 {1/5.0, 0,     0,     0, 1/4.0,     0,  0},
 10                 {1/5.0, 0,     0, 1/3.0,     0, 1/2.0,  1},
 11                 {    0, 0,     0,     0, 1/4.0,     0,  0},
 12                 {1/5.0, 0,     0,     0,     0,     0,  0}
 13                 };
 14         double[] PR = {1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0};
 15         double alpha = 0.85;
 16         double eps = 0.0000001;
 17         pageRank(PR, G, alpha, eps);
 18     }
 19     public static void showVector(double[] v){
 20         for (int i = 0; i < v.length; i++) {
 21             System.out.print(v[i] + "\t");
 22         }
 23         System.out.println();
 24     }
 25     public static void showMatrix(double[][] m){
 26         for (int i = 0; i < m.length; i++) {
 27             for (int j = 0; j < m[i].length; j++) {
 28                 System.out.print(m[i][j] + "\t");
 29             }
 30             System.out.println();
 31         }
 32     }
 33
 34     /**
 35      * 计算PageRank的主函数
 36      * @param vector 初始的PageRank向量
 37      * @param matrix 初始的HTML反向链接概率矩阵
 38      * @param alpha  阻尼因子
 39      * @param eps    收敛阈值
 40      * @return
 41      */
 42     public static double[] pageRank(double[] vector, double[][] matrix, double alpha, double eps) {
 43         double[] vectorMove = vector;
 44         while (true) {
 45             showVector(vector);
 46             vectorMove = vectorXmatrix(vector, matrix, alpha);
 47             double dis = norm(vector, vectorMove);
 48             if (dis <= eps) {
 49                 break;
 50             }
 51             vector = vectorMove;
 52         }
 53         return vector;
 54     }
 55
 56     /**
 57      * 计算两个向量的误差
 58      * @param vector
 59      * @param vectorMove
 60      * @return 向量的误差
 61      */
 62     public static double norm(double[] vector, double[] vectorMove) {
 63         if (vector.length != vectorMove.length) {
 64             return -1;
 65         }
 66         double sum = 0;
 67         for (int i = 0; i < vector.length; i++) {
 68             sum += Math.abs(vector[i] - vectorMove[i]);
 69         }
 70         return sum;
 71     }
 72
 73     /**
 74      * 计算PageRank值
 75      * @param matrix HTML反向链接概率
 76      * @param vector PageRank向量
 77      * @return 新的PageRank向量
 78      * @url: http://zh.wikipedia.org/zh/%E7%9F%A9%E9%98%B5
 79      * 两个矩阵的乘法仅当第一个矩陣A的列數和另一个矩阵B的行數相等时才能定义。
 80      * 如A是m×n矩陣和B是n×p矩陣，它們的乘積AB是一個m×p矩陣，它的一个元素
 81      * | 1  0  2|   |3  1|   |(1*3 + 0*2 + 2*1)  (1*1 + 0*1 + 2*0)  |   |5  1|
 82      * |-1  3  1| x |2  1| = |(-1*3 + 3*2 + 1*1) (-1*1 + 3*1 + 1*0) | = |4  2|
 83      *              |1  0|
 84      * | 1  0  2|   | 1 |    | 1*1 + 0*1 + 2*1|   | 3 |
 85      * |-1  3  1| x | 1 |  = |-1*1 + 3*1 + 1*1| = | 3 |
 86      *              | 1 |
 87      *              |3  1|
 88      * | 1  1  1| x |2  1| = |(1*3 + 1*2 + 1*1) (1*1 + 1*1 + 1*0)| = |6  2|
 89      *              |1  0|
 90      */
 91     public static double[] vectorXmatrix(double[] vector, double[][] matrix, double alpha) {
 92         if(null == vector || matrix == null || vector.length == 0 || matrix.length == 0 || vector.length != matrix[0].length){
 93             return null;
 94         }
 95         double[] result = new double[vector.length];
 96         for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
 97             double sum = 0;
 98             for (int j = 0; j < matrix[i].length; j++) {
 99                 sum += vector[j] * matrix[i][j];
100             }
101             sum = alpha * sum + (1 - alpha) / vector.length;
102             result[i] = sum;
103         }
104         return result;
105     }
106 }

以上内容多摘自wiki的PageRank;