机器学习 LR中的参数迭代公式推导——极大似然和梯度下降

Logistic本质上是一个基于条件概率的判别模型(DiscriminativeModel)。

函数图像为：

通过sigma函数计算出最终结果，以0.5为分界线，最终结果大于0.5则属于正类(类别值为1)，反之属于负类(类别值为0)。

如果将上面的函数扩展到多维空间，并且加上参数，则函数变成：

接下来问题来了，如何得到合适的参数向量θ呢？

由于sigma函数的特性，我们可作出如下的假设：

上式即为在已知样本X和参数θ的情况下，样本X属性正类(y=1)和负类(y=0)的条件概率。

将两个公式合并成一个，如下：

既然概率出来了，那么最大似然估计也该出场了。假定样本与样本之间相互独立，那么整个样本集生成的概率即为所有样本生成概率的乘积：

为了简化问题，我们对整个表达式求对数，(将指数问题对数化是处理数学问题常见的方法)：

满足似然函数(θ)的最大的θ值即是我们需要求解的模型。

梯度上升算法

就像爬坡一样，一点一点逼近极值。爬坡这个动作用数学公式表达即为：

其中，α为步长。

回到Logistic Regression问题，我们同样对函数求偏导。

先看：

其中：

再由：

可得：

接下来就剩下第三部分：

(这个公式应该很容易理解，简单的偏导公式)

还有就是：

综合三部分即得到：

因此，梯度迭代公式为：

结合本式再去理解《机器学习实战》Page 78中的代码就很简单了。

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