hdu 1757 A Simple Math Problem (构造矩阵解决递推式问题)

题意：有一个递推式f(x)

当 x < 10    f(x) = x.
当 x >= 10  f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10)

同时ai(0<=i<=9) 不是 0 就是 1；

现在给你 ai 的数字，以及k和mod,请你算出 f(x)%mod 的结果是多少

思路：线性递推关系是组合计数中常用的一种递推关系，如果直接利用递推式，需要很长的时间才能计算得出，时间无法承受，但是现在我们已知  f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10)，那么我们可以根据这个式子构造一个矩阵来解决这得问题

F_n=A×F_n-1 ,其中F_n={f(x-10)  ,A={0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

f(x-9)           0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

f(x-8)           0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

........           .................

f(x)}            0 a9 a8 a7 ........... a0}

在利用矩阵快速幂一顿套模板，最后得到矩阵ANS，和ANS中的a0‘ a1‘....a9‘,我们最后的答案就是a0‘*f(9)+a2‘*f(8)...a9‘*f(0);

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=11,M=11,P=11;
//const int MOD=1000000007;
int MOD;
struct  Matrix
{
    ll m[N][N];
};

Matrix A;
Matrix I;

Matrix multi(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix ans;
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
       for(int j=0;j<M;j++)
       {
          ans.m[i][j]=0;
          for(int k=0;k<P;k++)
          {
             ans.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j]%MOD;
          }
          ans.m[i][j]%=MOD;
       }
    }
    return ans;
}

Matrix power(Matrix a,int k)
{
    Matrix ans=I,p=a;
    while(k)
    {
      if(k&1)
      {
        ans=multi(ans,p);
      }
      k>>=1;
      p=multi(p,p);
    }
    return ans;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int a[10];
    ll k;
    while(scanf("%lld %lld",&k,&MOD)!=-1)
    {
       for(int i=0;i<10;i++)
       {
         scanf("%d",&a[i]);
       }
       for(int i=0;i<N;i++)
       {
          for(int j=0;j<M;j++)
          {
             I.m[i][j]=0;
             if(i==j)
             {
                I.m[i][j]=1;
             }
          }
       }
       for(int i=0;i<N-1;i++)
       {
          for(int j=0;j<M;j++)
          {
              A.m[i][j]=0;
              if(i+1==j)
              {
                A.m[i][j]=1;
              }
          }
       }
       A.m[N-1][0]=0;
       for(int i=1;i<N;i++)
       {
          A.m[N-1][i]=a[10-i];
       }
       Matrix ans = power(A,k-9);
       ll num=0;
       for(int i=N-1;i>=1;i--)
       {
           num=(num+ans.m[N-1][i]*(i-1))%MOD;
       }
       cout<<num<<endl;
    }
    return 0;
}