监督学习应用与梯度下降
本课内容：
1、 线性回归
2、 梯度下降
3、 正规方程组
（复习）监督学习：告诉算法每个样本的正确答案，学习后的算法对新的输入也能输入正确的答案
1、 线性回归
例：Alvin汽车，先让人开车，Alvin摄像头观看（训练），而后实现自动驾驶。
本质是一个回归问题，汽车尝试预测行驶方向。
例：上一节课的房屋大小与价格数据集
引入通用符号：
m = 训练样本数
x = 输入变量（特征）
y = 输出变量（目标变量）
(x,y) – 一个样本
–第i个训练样本 =
本例中：m：数据个数，x：房屋大小，y：价格
监督学习过程：
1) 将训练样本提供给学习算法
2) 算法生成一个输出函数（一般用h表示，成为假设）
3) 这个函数接收输入，输出结果。（本例中为，接收房屋面积，输出房价）将x映射到y。
如下图所示：
对假设进行线性表示： 
通常来说，回归问题有多个输入特征。如上例中，我们还已知房屋的卧室数，即有个第二个特征。即
表示大小，
表示卧室数，则可将假设写成：
为了将公式写整洁，定义
，则h可写成：
n = 特征数目， 
：参数
选择的目的，是使h(x)与y的平方差尽量小。又由于有m个训练样本，需要计算每个样本的平方差，最后为了简化结果乘以1/2，即：
我们要做的就是求：min(J())
求min(J())方法：梯度下降和正规方程组
2、 梯度下降
梯度下降是一种搜索算法，基本思想：先给出参数向量一个初始值，比如0向量；不断改变，使得J()不断缩小。
改变 的方法：梯度下降
如图所示，水平坐标轴表示
，垂直坐标表示J()
一开始选择0向量作为初始值，假设该三维图为一个三维地表，0向量的点位于一座“山”上。梯度下降的方法是，你环视一周，寻找下降最快的路径，即为梯度的方向，每次下降一小步，再环视四周，继续下降，以此类推。结果到达一个局部最小值，如下图：
当然，若初始点不同，则结果可能为另一个完全不同的局部最小值，如下：
表明梯度下降的结果依赖于参数初始值。
梯度下降算法的数学表示：
为赋值运算符，即表示程序中的的赋值语句。
每一次将
减去对
求偏导的结果，即沿最陡峭的“山坡”下降
将偏导数展开分析：
代入上式：
：学习速度，即决定你下山时每一步迈多大。设的过小，收敛时间长，设的过大，可能会超过最小值
（1） 批梯度下降算法：
上述为处理一个训练样本的公式，将其派生成包含m个训练样本的算法，循环下式直至收敛：
复杂度分析：
对于每个的每次迭代，即上式所示，时间为O(m)
每次迭代（走一步）需要计算n个特征的梯度值，复杂度为O(mn)
一般来说，这种二次函数的的三维图形为一个碗状，有一个唯一的全局最小值。其等高线为一个套一个的椭圆形，运用梯度下降会快速收敛到圆心。
梯度下降性质：接近收敛时，每次的步子会越来越小。其原因是每次减去乘以梯度，但是梯度会越来越小，所以步子会越来越小。
下图为使用梯度下降拟合的上例房屋大小和价格的曲线
检测是否收敛的方法：
1) 检测两次迭代的改变量，若不再变化，则判定收敛
2) 更常用的方法：检验，若不再变化，判定收敛
批梯度下降算法的优点是能找到局部最优解，但是若训练样本m很大的话，其每次迭代都要计算所有样本的偏导数的和，时间过慢，于是采用下述另一种梯度下降方法。
（2） 随机梯度下降算法（增量梯度下降算法）：
每次计算
不需要再遍历所有数据，而是只需计算样本i即可。
即批梯度下降中，走一步为考虑m个样本；随机梯度下降中，走一步只考虑1个样本。
每次迭代复杂度为O(n)。当m个样本用完时，继续循环到第1个样本。
上述使用了迭代的方法求最小值，实际上对于这类特定的最小二乘回归问题，或者普通最小二乘问题，存在其他方法给出最小值，接下来这种方法可以给出参数向量的解析表达式，如此一来就不需要迭代求解了。
3、 正规方程组
给定一个函数J，J是一个关于参数数组的函数，定义J的梯度关于的导数，它自己也是一个向量。向量大小为n+1维（从0到n），如下：
所以，梯度下降算法可写成：
更普遍的讲，对于一个函数f，f的功能是将一个m*n的矩阵映射到实数空间上，即：
假设输入为m*n大小的矩阵A，定义f关于矩阵A的导数为：
导数本身也是个矩阵，包含了f关于A的每个元素的偏导数。
如果A是一个方阵，即n*n的矩阵，则将A的迹定义为A的对角元素之和，即：
trA即为tr(A)的简化。
一些关于迹运算符和导数的定理：
1) trAB = trBA
2) trABC = trCAB = trBCA
3) 
4) 
5) 若
，tra = a
6) 
有了上述性质，可以开始推导了：
定义矩阵X，称为设计矩阵，包含了训练集中所有输入的矩阵，第i行为第i组输入数据，即：
则由于
，所以可得：
又因为对于向量z，有
，则有：
由上述最后一个性质可得：
通过上述6个性质，推导：
倒数第三行中，运用最后一个性质
将
置为0，则有：
称为正规方程组
可得：