换钱方法数(有限制条件和无限制条件)

1.  先说一下有限制的

/*
给定一套货币(面值不同的一组货币) vector<int> moeys，以及每种货币的数量vector<int> cnts，求出组合成目标tar的方法数

动态规划思想： dp[i][j]表示用货币moneys[0~i] 组合成 tar 的方法数
dp的规模是：dp[moneys.size()][tar+1]

<1> 初始化第一行，dp[0][j], 用moneys[0] 组成j的方法数， moneys[0]只能组成其整数倍的钱数
<2> 初始化第一列， dp[i][0], 用任何面值组成0的方法都是1，即都不用，所以第一列是全1
<3> 其他位置：dp[i][j]有以下几种可能
    <3.1> 不用moneys[i], 只用moneys[0~i-1]组成j，此时方法数是dp[i-1][j]
    <3.2> 用一张moneys[i], 且用moneys[0~i-1]组成j-1*moneys[i]，此时方法数是dp[i-1][j-1*moneys[i]]
    <3.3> 用两张moneys[i], 且用moneys[0~i-1]组成j-2*moneys[i]，此时方法数是dp[i-1][j-2*moneys[i]]
    <3.4> 用三张moneys[i], 且用moneys[0~i-1]组成j-3*moneys[i]，此时方法数是dp[i-1][j-3*moneys[i]]
    .
    .
    .
    直到 当前货币张数用完，或者j-k*moneys[i]<0 则停止
    那么dp[i][j] 就是上面所有可能的对应的方法数的和。　　dp[i][j] = sum{dp[i-1][j-k*moneys[i]], 其中k=0,1,2,3...cnts[i] ,且j-k*moneys[i]}
*/

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int getChangeWays(vector<int> &moneys, vector<int> &cnts, int tar)
{
    int len1=moneys.size(), len2=cnts.size();
    int dp[len1][tar+1];
    // 初始化第一列
    for (int i=0; i<len1; i++) dp[i][0] = 1;
    /*
    初始化第一行，注意里面的细节：
    <1> 对于小于moneys[0]的j，其值是0，（如：5元纸币是无法组成1~4元的）
    <2> 只有moneys[0]的整数倍，且不成超过张数限制的位置， dp[0][j] 才是1.（如：假如有4张5元纸币，那么能组成的面值
    有5 10 15 20， 但是 25 30 .. 是5的整数倍但是由于张数不够，所以无法组成）
    */
    for (int j=1; j<=tar; j++)
    {
        if (j>=moneys[0] && j%moneys[0]==0 && (j/moneys[0])<=cnts[0]) dp[0][j] = 1;
        else dp[0][j] = 0;
    }

    // 其他位置dp[i][j]
    for (int i=1; i<len1; i++)
    {
        for (int j=1; j<=tar; j++)
        {
            int ways = 0;
            /*
            用k张当前货币，所对应的方法数是dp[i-1][j-k*moneys[i]].
            这里要保证0<=k<=cnts[i], 且 j-k*moneys[i]>=0
            */
            for (int k=0; k<=cnts[i] && (j-k*moneys[i])>=0; k++)
            {
                ways += dp[i-1][j-k*moneys[i]];
            }
            dp[i][j] = ways;
        }
    }
    return dp[len1-1][tar];
}

int main()
{
    int tar;
    int arr[] = {1,5,10,20,50,100}; // 给出货币面值
    vector<int> moneys(arr,arr+6);
    cin>>tar;
    vector<int> cnts(6,0);     // 每种货币的数量
    for (int i=0; i<6; i++)
    {
        cin>>cnts[i];
    }
    cout<<getChangeWays(moneys, cnts, tar)<<endl;
    return 0;
}

2.  如果上面的，理解了的话，就进行无限制的情况

无限制和有限制的区别，主要体现在两处：

<2.1> 初始化第一列的时候， 没有了数量上的限制

<2.2> 求其他位置dp[i][j] 的时候，约束条件少了一条，并且可以减少一部分运算

/*
状态转化方程是：dp[i][j] = sum{dp[i-1][j-k*moneys[i]], 其中k=0,1,2,3... 且j-k*moneys[i]>=0}
换个形式
dp[i][j] = dp[i-1][j] + sum{dp[i-1][j-k*moneys[i]], 其中k=1,2,3... 且j-k*moneys[i]>=0}                        // 把第一项单独拿出来
         = dp[i-1][j] + sum{dp[i-1][j-moneys[i]-k*moneys[i]], 其中k=0,1,2,3... 且j-moneys[i]-k*moneys[i]>=0}
	 = dp[i-1][j] + dp[i][j-moneys[i]]
*/　　

这时候的函数是下面的这个

int getChangeWays2(vector<int> &moneys, int tar)
{
    int len1=moneys.size(), len2=cnts.size();
    int dp[len1][tar+1];
    // 初始化第一列和第一列
	for (int i=0; i<len1; i++) dp[i][0] = 1;
	for (int j=1; j<=tar; j++)
    {
        if (j>=moneys[0] && j%moneys[0]==0) dp[0][j] = 1;
        else dp[0][j] = 0;
    }

	// 其他位置dp[i][j]
    for (int i=1; i<len1; i++)
    {
        for (int j=1; j<=tar; j++)
        {
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
			if (j-moneys[i]>=0) dp[i][j] += dp[i][j-moneys[i]];
        }
    }
    return dp[len1-1][tar];
}　　

如果有写错的地方，还请各位大神指出！！！

参考：

左程云 《程序员代码面试指南》

http://blog.csdn.net/qq_22222499/article/details/71249354