初学算法之最基础的欧拉回路

须知：

图中的度：所谓顶点的度(degree)，就是指和该顶点相关联的边数。

在有向图中，度又分为入度和出度。

入度 (in-degree) ：以某顶点为弧头，终止于该顶点的弧的数目称为该顶点的入度。

出度 (out-degree) 是指以某顶点为弧尾，起始于该顶点的弧的数目。

在某顶点的入度和出度的和称为该顶点的度

定义：

欧拉回路：每条边恰好只走一次，并能回到出发点的路径

欧拉路径：经过每一条边一次，但是不要求回到起始点

欧拉回路存在性的判定：

一、无向图
每个顶点的度数都是偶数，则存在欧拉回路。

二、有向图（所有边都是单向的）
每个节顶点的入度都等于出度，则存在欧拉回路。

欧拉路径存在性的判定：

一。无向图
一个无向图存在欧拉路径，当且仅当   该图所有顶点的度数为偶数   或者  除了两个度数为奇数外其余的全是偶数。

二。有向图
一个有向图存在欧拉路径，当且仅当 该图所有顶点的度数为零     或者 一个顶点的度数为1，另一个度数为-1，其他顶点的度数为0。

例：NYOJ 42 一笔画问题

一笔画问题

时间限制：3000 ms  |  内存限制：65535 KB

难度：4

描述

zyc从小就比较喜欢玩一些小游戏，其中就包括画一笔画，他想请你帮他写一个程序，判断一个图是否能够用一笔画下来。

规定，所有的边都只能画一次，不能重复画。

输入

第一行只有一个正整数N(N<=10)表示测试数据的组数。
每组测试数据的第一行有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000)，分别表示这个画中有多少个顶点和多少条连线。（点的编号从1到P）
随后的Q行，每行有两个正整数A,B(0<A,B<P)，表示编号为A和B的两点之间有连线。

输出

如果存在符合条件的连线，则输出"Yes",
如果不存在符合条件的连线，输出"No"。

样例输入

2
4 3
1 2
1 3
1 4
4 5
1 2
2 3
1 3
1 4
3 4

样例输出

No
Yes

来源

[张云聪]原创

上传者

张云聪

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 using namespace std;
 4 const int Max = 1111;
 5 int map[Max][Max];
 6 int vis[Max],coun[Max];
 7 int n,p,q,f;
 8 void dfs(int a)
 9 {
10     vis[a]=1;
11     for(int i=1;i<=p;i++)
12     {
13         if(map[a][i])
14         {
15             coun[a]++;   //每个顶点的度数
16             if(!vis[i])
17             dfs(i);
18         }
19     }
20 }
21 int main()
22 {
23     scanf("%d",&n);
24     while(n--)
25     {
26         f=0;
27         memset(coun,0,sizeof(coun));
28         memset(map,0,sizeof(map));
29         memset(vis,0,sizeof(vis));
30         int a,b;
31         scanf("%d %d",&p,&q);
32         for(int i=0;i<q;i++)
33         {
34             scanf("%d %d",&a,&b);
35             map[a][b]=1;
36             map[b][a]=1;
37         }
38         dfs(1);
39         for(int k=1;k<=p;k++)
40         if(!vis[k])
41         {
42             f=1;
43             break;
44         }
45         if(f)
46         printf("No\n");
47         else
48         {
49             int j=0;
50             for(int k=1;k<=p;k++)
51             {
52                 if(coun[k]%2!=0)     //记录度数为奇数的个数
53                 j+=1;
54             }
55                 if(j==2||j==0)   //如果度数为奇数的为两个，则这俩个是起点和终点
56                 printf("Yes\n"); //如果度数为奇数的为0个，则所有点可为起点
57                 else
58                 printf("No\n");
59         }
60     }
61     return 0;
62 }