SICP 习题 （1.45）解题总结

SICP 习题 1.45是对前面很多关于不动点的习题的总结。

题目回顾了我们之前在1.3.3节使用的不动点寻找方法，当寻找y -> x/y 的不动点的时候，这个变换本身不收敛，需要做一次平均阻尼才可以。

对于y -> x/(y^2)这个变换也可以通过一次平均阻尼使它变得收敛。

不过一次平均阻尼对于四次方程是不够的，就是说，对y -> x/(y^3)这样的变换，一次平均阻尼不足以使它收敛，需要做两次平均阻尼才行。

题目遵从一直以来的抽象原则，要求我们去多做几次测试，找出 y -> x / (y^n)这样的变换需要几次平均阻尼。

先看看目前我们知道的规律，

y -> x/(y^1) 需要1次平均阻尼

y -> x/(y^2) 需要1次平均阻尼

y -> x/(y^3) 需要2次平均阻尼

简单猜得话会不会是需要n/2次平均阻尼呢？

单靠猜当然不行，我们需要测试几次。

为了方便测试，我写了下面这样的方法：

(define (n-rt x n try-average-time)
  (fixed-point ((repeat average-damp try-average-time) (lambda (y)  (/ x (fast-expt y (- n 1)) ) )) 1.0))

这样就可以随意指定n次方程和对应的平均阻尼次数，从5次方程开始测试，看看测试结果是否符合我的猜测。

测试发现我的猜测太不靠谱了，测试发现4，5，6，7次方程都可以通过2次平均阻尼实现收敛。

继续猜得话就猜(lg n)次了，说实话我的数学敏感度还没到一下就往(lg n)次猜得程度，看了自己的很多次测试结果，结合网上一些同学们的解题过程才定位到(lg n)上的。

当然，这次猜对了。

最终我写的方法如下：

(define (final-n-root x n)
  (define (nth-root n)
    (n-rt x n (lg n)))
  (nth-root n))

以上方法调用了之前定义的用于测试的n-rt过程，只是简单的使用(lg n)去计算需要平均阻尼的次数。