递归函数

• 函数内部直接或间接的调用函数自身
• 将复杂问题简单化

例子程序

• def sum_digits(n):
          """Return the sum of the digits of positive integer n."""
          if n < 10:
              return n
          else:
              all_but_last, last = n // 10, n % 10
              return sum_digits(all_but_last) + last

• 各位数字之和问题分解为两个步骤
  • 除了最后一个数字以外所有数字相加
  • 然后加上最后一个数字

相互递归

• def is_even(n):
      if n == 0:
          reutrn True
      else:
          return is_odd(n-1)
  
  def is_odd(n):
      if n == 0:
          return False
      else:
          return is_even(n-1)
  
  result = is_even(4)

• game
• 一个双人游戏，桌上有n个鹅卵石，每次一个人能从桌子上拿走一个或两个鹅卵石，拿走最后一个鹅卵石的人胜利
  • Alice每次只拿走一个鹅卵石
  • Tom在鹅卵石是偶数的时候拿走两个鹅卵石，反之拿走一个鹅卵石
  • 最终谁会获胜

• def play_Alice(n):
      if n == 0:
          print("Tom wins!")
      else:
          play_Tom(n-1)
  
  def play_Tom(n):
      if n == 0:
          print("Alice wins!")
      elif(n%2 == 0):
          play_Alice(n-2)
      else:
          play_Alice(n-1)

树递归

• 一个函数调用自己大于一次
• 例子（斐波那契数列）：

  • def Fibo(n):
        if n == 1:
            return 0
        if n == 2:
            return 1
        if n > 2:
            return Fibo(n-2) + Fibo(n-1)

    def count_partitions(n, m):
            """Count the ways to partition n using parts up to m."""
            if n == 0:
                return 1
            elif n < 0:
                return 0
            elif m == 0:
                return 0
            else:
                return count_partitions(n-m, m) + count_partitions(n, m-1)

  • 不断将函数以m为界分段，直到全部分为1