[HAOI2007]反素数ant

1053: [HAOI2007]反素数ant

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Description

对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。
如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) 0<i<x，则称x为反质数。例如，整数1，2，4，6等都是反质数。
现在给定一个数N，你能求出不超过N的最大的反质数么？

Input

一个数N（1<=N<=2,000,000,000）。

Output

不超过N的最大的反质数。

Sample Input

1000

Sample Output

840

HINT

Source

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【题解】

首先，可以用组合数学证得，如果一个数n=a₁^x₁×a₂^x₂×……×a_k^x_k

那么，设函数ex-phi(n)表示n的约数的个数

可推导出ex-phi(n)=(x₁+1)(x₂+1)...(x_k+1) ................(这只是个公式，我并不会证明)

上面的结论称为定理1

===========================================

通过计算可以得出当N在2000000000以内时，最多只有10个素因子

证明：2*3*5*7*11*13*17*19*23*29≈60e>20e

上面的结论称为定理2

===========================================

小素因子多一定比大素因子多要优秀

小素因子多那么总因子多，ex-phi(n)肯定比大素因子多的大。

上面的结论称为定理3

===========================================

然而推出这些神奇的结论后，我们发现——

我们维护素因子从小到大数量的单调递减性即可。

代码不太好懂，，，，我加了不少注释

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 long long prime[100]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37};
 4 long long ans,num,n;
 5 //num=目前约数最多的数中最小的数(语言能力有限...)  ans=目前约数最多的约数的个数
 6 inline void dfs(int now,   long long product,   long long cs,   long long lastcs,    long long res)
 7 //           当前质数下标          当前乘积     当前数出现次数    上一个数出现次数         约数个数
 8 {
 9     if(ans==res*(cs+1)&&product<num)//当前乘积的这个数是约数个数已经等于ans，且比num小
10         num=product;// 更新答案
11     if(res*(cs+1)>ans){//这个没的说，肯定更新啦
12         ans=res*(cs+1);
13         num=product;
14     }
15     if(cs+1<=lastcs&&product*prime[now]<=n)//每个质数的指数保证单调不上升且不超过n
16         dfs(now,product*prime[now],cs+1,lastcs,res);
17
18     for(int i=now+1;i<=10;i++)//在数据范围内用到的质数不会超过10
19         if(product*prime[i]<=n)//注意不能超过n
20             dfs(i,product*prime[i],1,cs,res*(cs+1));
21 }
22
23 inline void go()
24 {
25     dfs(1,1,0,100,1);
26     printf("%lld\n",num);
27 }
28
29 int main()
30 {
31     scanf("%lld",&n);
32     go();
33     return 0;
34 }