大整数算法[12] 有符号乘法

★ 引子

前面三篇文章讲了 Comba 乘法和 Karatsuba 乘法，有了这两个算法，就可以很轻松的构造有符号数乘法。

顺便提一下：讲Comba 乘法的实现的时候，给出了 x86 环境下的内联汇编实现，最近添加了 GCC x64 环境的内联汇编，已经补充到帖子当中。

★ 实现

        有符号数的乘法，基本实现是这样：大的整数用 Karatsuba 乘法搞定，小的整数用 Comba 乘法搞定。对于大的整数，Karatsuba 乘法会不断递归计算，直到输入的整数小到一定规模，就改用 Comba 方法直接计算，这样的话，既可以降低乘法的时间复杂度，但又不会在小整数上花过多的时间计算。具体的实现代码如下：

int bn_mul_bn(bignum *z, const bignum *x, const bignum *y)
{
    int ret;
    bignum ta[1], tb[1];

    bn_init(ta);
    bn_init(tb);

    if(BN_MIN(x->used, y->used) >= KARATSUBA_MUL_CUTOFF)
    {
        BN_CHECK(bn_mul_karatsuba(z, x, y));
    }
    else
    {
        if(x == z)
        {
            BN_CHECK(bn_copy(ta, x));
            x = ta;
        }
        if(y == z)
        {
            BN_CHECK(bn_copy(tb, y));
            y = tb;
        }

        BN_CHECK(bn_grow(z, x->used + y->used));
        BN_CHECK(bn_set_word(z, 0));
        z->used = x->used + y->used;

        bn_mul_comba(z, x, y);
        z->sign = (x->sign == y->sign) ? 1 : -1;
    }

clean:
    bn_free(ta);
    bn_free(tb);

    return ret;
}

算法一开始会检查输入的 x 和 y 的大小，如果 x 和 y 的数位都大于或等于分割点 KARATSUBA_MUL_CUTOFF，就使用 Karatsuba 乘法进行计算，否则使用 Comba 方法。

使用 Comba 方法的时候，先增加目标结果的精度，以便能够无损地存储计算结果，然后把 z 设为 0，调用 Comba 方法的函数进行计算，最后设置符号位（同号得正，异号得负）。所有计算完成后，清除临时变量的内存。由于 ta 和 tb 一开始就初始化了，所以即使没有分配内存，在清除的时候也不会出错。

在使用 Comba 方法时，为了处理输入和输出是同一个变量的情况（x = x * y，y = x * y，x = x * x，y = y * y），需要使用临时变量 ta 和 tb。当有这种情况发生时，先把输入的整数拷贝到临时变量中，然后再把 x 或 y 指向 ta 或 tb，这样就避免了在计算中把 x 或 y 置为 0（因为 z 一开始会被设为 0）。

★ 总结

        因为有了前面的铺垫，所以这个算法没有什么好讲的。下一篇讲讲讲单数位乘法，单数位乘法不能按照单数位加法减法那种方法来做，因为使用 Comba 或 Karatsuba 会增加计算量，所以单独实现更合理。

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