[测度论讲义严加安第二版习题参考解答]1.1.2

证明: $$\bex \vli{n}A_n\cap \vls{n}B_n\subset \vls{n}(A_n\cap B_n). \eex$$

证明: $$\beex \bea &\quad x\in \vli{n}A_n\cap \vls{n}B_n\\ &\ra \sedd{\ba{ll} \dps{x\in \vli{n}A_n}\\ \dps{x\in\vls{n}B_n} \ea}\\ &\ra \sedd{\ba{ll} \exists\ n_0,\ \forall\ k\geq n_0,\ x\in A_k\\ \forall\ n,\ \exists\ k\geq n,\st x\in B_k \ea}\\ &\ra \forall\ n\geq n_0,\ \exists\ k\geq n,\ x\in A_k\cap B_k\\ &\ra x\in\vls{n}(A_n\cap B_n). \eea \eeex$$

时间： 2024-12-19 00:51:52

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若 $\calC$ 同时为代数和单调类或同时为 $\pi$ 类和 $\lm$ 类, 则 $\calC$ 为 $\sigma$ 代数. 证明: $$\bex \va{n} A_n=\va{n} (A_1\cap \cdots A_n);\quad \va{n} A_n=\sex{\vu{n} A_n^c}^c =\sex{\vu{n}(A_1^c\cup \cdots \cup A_n^c)}^c. \eex$$

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$\lm$ 类中定义的条件 (i) 和 (ii) 等价于如下两条件: (i)' $A\in \calC\ra A^c\in \calC$; (ii)' $A,B\in \calC,\ A\cap B=\vno\ra A\cup B\in \calC$. 证明: $\ra$: $$\beex \bea A\in \calC&\ra A^c=\Om\bs A\in \calC;\\ A,B\in \calC,\ A\cap B=\vno&\ra A\cup B =(A^c\cup B^c)^c

[测度论讲义严加安第二版习题参考解答]1.1.3

证明对可列不交并封闭的代数为 $\sigma$ 代数. 证明: $$\bex \cap_{n=1}^\infty A_n=\sex{\cup_{n=1}^\infty A_n^c}^c =\sex{\cup_{n=1}^\infty B_n^c}^c\quad\sex{B_1=A_1;\ B_n=A_nA_1^c\cdots A_{n-1}^c,\ n\geq 2}. \eex$$

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Page 9: 含 $\om$ 的 $\calF$ 原子的性质对 $\forall\ \om\in\Om$, 令 $$\bex \calF_\om=\sed{B\in\calF;\ \om\in B},\quad A(\om)=\cap_{B\in\calF_\om}B, \eex$$ 称 $A(\om)$ 为含 $\om$ 的 $\calF$ 原子, 它就是所有包含 $\om$ 的 $\calF$ 可测集的交 (未必是 $\calF$ 可测的), 且有以下两个性质: (1). 设 $\om,

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1. (a) 证明 (6) 定义了范数. (b) 证明他们在 (5) 式移一下是等价的. 证明: $$\bex |(z,u)|'\leq |(z,u)|\leq 2|(z,u)|',\quad |(z,u)|''\leq |(z,u)|\leq \sqrt{2}|(z,u)|''. \eex$$ 2. 证明定理 2. 证明: 对 $y_1,y_2\in \bar Y$, $$\bex \exists\ Y\ni y_{1n}\to y_1,\quad Y\ni y_{2n}\to y_2, \e

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