解法1:我们可以把棋盘的左下角看做二维坐标的原点(0,0),把棋盘的右上角看做二维坐标(m,n)(坐标系的单位长度为小方格的变长)
用f(i, j)表示移动到坐标f(i, j)的走法总数,其中0=<i, j<=n,设f(m, n)代表从坐标(0,0)到坐标(m,n)的移动方法,
则f(m, n) = f(m-1, n) + f(m, n-1).
于是状态f(i, j)的状态转移方程为:
f(i, j) = f(i-1, j) + f(i, j-1) if i, j>0
f(i, j) = f(i, j-1) if i=0
f(i, j) = f(i-1, j) if j=0
优化的状态f(i, j)的状态转移方程为:
递归结束条件为:f(0,0)=0, f(0,1)=1, f(1,0)=1。这个问题可以在时间O(n^2),空间O(n^2)内求解。
递归解法
1 //递归解法 2 int process(int m, int n) { 3 if (m == 0 && n == 0) 4 return 0; 5 if (m==0 || n==0) 6 return 1; 7 return process(m, n - 1) + process(m - 1, n); 8 }
非递归解法
1 int processNew(int m,int n){ 2 int **Q=new int*[m+1]; 3 for(int i=0; i<=m; ++i){ 4 Q[i]=new int[n+1](); 5 } 6 //初始化 7 Q[0][0]=0; 8 for(int j=1; j<=n; ++j) 9 Q[0][j]=1; 10 for(int i=1; i<=m; ++i) 11 Q[i][0]=1; 12 //迭代计算 13 for(int i=1; i<=m; ++i){ 14 for(int j=1; j<=n; ++j){ 15 Q[i][j]=Q[i-1][j]+Q[i][j-1]; 16 } 17 } 18 int res=Q[m][n]; 19 delete [] Q; 20 return res; 21 }
解法2:这个题目其实是一个组合问题。对方向编号,向上是0,向右是1,那么从左下角走到右上角一定要经过M 个1和N个0。这个题目可以转化为从M+N个不同的盒子中挑出M个盒子有多少种方法。答案是C(M+N, M),或者C(M+N, N)的组合数。
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