最短路问题1.1
by MPS
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1.1.1绪论
临近NOIP复赛之前，特地来复习一下NOIP的图论知识章节的最主要的一个章节——最短路。
最短路分为单源最短路和多源最短路，通常我们对求解单源最短路的算法有Dijkstra,SPFA,Bellman-Ford，而对多源最短路的求法有Floyd和Jhonson
在1.1内，只介绍Dijkstra和Floyd，预知后事如何，请继续关注蒟蒻MPS的博客
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1.1.2 单源最短路的求解算法——Dijkstra算法
我们对于给定源点，且有且只有一个源点的图叫做单源图，而求解源点到终点的最短路径则叫做单源最短路。
较为著名的算法就是Dijkstra算法
Dijkstra算法的流程如下：（可以类比Prim方便理解）
1.已知一个开放列表和一个关闭列表，开放表示已经处理过的点，关闭表示尚未处理的点，一开始，我们把源点放入开放列表，其余点放入关闭列表
2.我们从开放列表里的第一个且未被执行的点开始，选择与其最近的点，将点从关闭列表放入开放列表，然后松弛这个点能到达的点到源点的距离
3.重复2 n次
很容易看出，重复的时间复杂度为O(n)，选择最近的点为O(n)，松弛为O(n)，则实际上Dij的时间复杂度为O(n(n+n))
但不过我们可以近似看成O(n^2)
1.1.2.1 练习模板题——HDU 2544 《最短路》
Problem Description
在每年的校赛里，所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候，却是非常累的！所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线，你可以帮助他们吗？
Input
输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M（N<=100，M<=10000），N表示成都的大街上有几个路口，标号为1的路口是商店所在地，标号为N的路口是赛场所在地，M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行，每行包括3个整数A，B，C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000）,表示在路口A与路口B之间有一条路，我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。
输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。
Output
对于每组输入，输出一行，表示工作人员从商店走到赛场的最短时间
Sample Input
2 1 1 2 3 3 3 1 2 5 2 3 5 3 1 2 0 0
Sample Output
3 2
很明显，设测试数据组数为T，则题目是要我们跑T遍dijkstra
所以很简单了= =
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MaxN=101;
const int INF=0x7fffffff;
int n,m,dis[MaxN],map[MaxN][MaxN];
bool vis[MaxN];
void dijkstra(){
dis[1]=0;
int i,j,k,cost;
for(i=2;i<=n;i++)dis[i]=INF;
memset(vis,false,sizeof(vis));
for(i=1;i<=n;i++){
cost=INF;
for(j=1;j<=n;j++)
if(vis[j]==false && cost>dis[j])
{cost=dis[j];k=j;}
vis[k]=true;
for(j=1;j<=n;j++)
if(vis[j]==false && dis[j]>dis[k]+map[k][j] && map[k][j]!=0)
dis[j]=dis[k]+map[k][j];
}
}
int main(){
scanf("%d %d",&n,&m);
int i,j,u,v,cap;
while(n!=0 && m!=0){
memset(map,0,sizeof(map));
for(i=1;i<=m;i++){
scanf("%d %d %d",&u,&v,&cap);
map[u][v]=map[v][u]=cap;
}
dijkstra();
printf("%d\n",dis[n]);
scanf("%d %d",&n,&m);
}
return 0;
}
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1.1.2.2 Dijkstra算法的反思
dijkstra算法的时间复杂度O(n^2)，那么，有没有可以优化的地方呢？显然是有的。就是在算法流程的第二步：
选出最近点
我们可以用小根堆优化，这样就把O(N^2)降低为了O((n+m)logn)
比较偷懒的Oier（类如我）直接用优先队列也是个不错的选择
代码略
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1.1.3 多源最短路的求解算法——Floyd_Warshall算法
对于稠密图的多源最短路（说白了就是点对点的最短路）的求解方法，我们一般使用floyd算法
floyd其实是一个动态规划的算法
我们这样划分阶段：以每一次松弛划分阶段
状态：f[i][j]表示i到j的最短路
动态转移方程：f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]) (1<=i,j,k<=n)
那么具体代码就出来了，时间复杂度显然是O(N^3)
较于简单，读者自行理解→_→
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Thanks for watching!