2395: [Balkan 2011]Timeismoney
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Description
有n个城市(编号从0..n-1)，m条公路(双向的)，从中选择n-1条边，使得任意的两个城市能够连通，一条边需要的c的费用和t的时间，定义一个方案的权值v=n-1条边的费用和*n-1条边的时间和，你的任务是求一个方案使得v最小
Input
第一行两个整数n,m,接下来每行四个整数a,b,c,t,表示有一条公路从城市a到城市b需要t时间和费用c
Output
【output】timeismoney.out
仅一行两个整数sumc，sumt,（sumc表示使得v最小时的费用和，sumc表示最小的时间和） 如果存在多个解使得sumc*sumt相等，输出sumc最小的
Sample Input
5 7
0 1 161 79
0 2 161 15
0 3 13 153
1 4 142 183
2 4 236 80
3 4 40 241
2 1 65 92
Sample Output
279 501
HINT
【数据规模】
1<=N<=200
1<=m<=10000
0<=a,b<=n-1
0<=t,c<=255
有5%的数据m=n-1
有40%的数据有t=c
对于100%的数据如上所述
最小乘积生成树模板题。
最小乘积生成树：
每条边有两个权值a[i].x,a[i].y，使得∑a[i].x?∑a[i].y最小的生成树是最小乘积生成树。
我们把∑a[i].x看做横坐标x，∑a[i].y看做纵坐标y，要求k=xy最小，即使得反比例函数y=kx最接近坐标轴。
因此我们需要求出所有这些点构成的凸包的左下部分，从中找一个最大的。
怎么求凸包的左下部分呢？
用分治法。
1.首先分别求出∑a[i].x最小的和∑a[i].y最小的点为A,B（这个就是普通的MST）,然后再求出离线段AB最远的点C(靠近原点一侧)；
2.然后递归下去分别求离AC，CB最远的点。。。
3.最后整个左下凸包上的点就都求出来了。
如何求离线段AB最远的C点呢？
离AB最远的点C必然使得S△ABC最大，用叉积算面积，即让AB→×AC→最小:
AB→×AC→=(B.x?A.x)?(C.y?A.y)?(B.y?A.y)?(C.x?A.x)=C.x?(A.y?B.y)+C.y?(B.x?A.x)+(...)
(...)是只与A,B有关的量，是常数；
我们要让前面那一部分最小，那么把所有边权赋值为a[k].x?(A.y?B.y)+a[k].y?(B.x?A.x)，然后求最小生成树就把C点求出来了~
边界就是AB→×AC→≥0。
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define LL long long
using namespace std;
int n,m,f[205];
struct edge
{
int x,y,t,c;
LL v;
}e[100005];
struct Point
{
LL x,y;
}ans,A,B;
bool cmp(edge a,edge b)
{
return a.v<b.v;
}
int Getfather(int x)
{
return f[x]==x?x:f[x]=Getfather(f[x]);
}
Point Kruscal()
{
Point p=(Point){0,0};
sort(e+1,e+1+m,cmp);
for (int i=1;i<=n;i++)
f[i]=i;
int now=1;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
int fx=Getfather(e[i].x),fy=Getfather(e[i].y);
if (fx==fy) continue;
p.x+=e[i].c,p.y+=e[i].t;
f[fx]=fy;
now++;
if (now==n) break;
}
if ((ans.x*ans.y==p.x*p.y&&p.x<ans.x)||ans.x*ans.y>p.x*p.y)
ans=p;
return p;
}
LL Cross(Point a,Point b,Point c)
{
return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y);
}
void Solve(Point a,Point b)
{
LL y=a.y-b.y,x=b.x-a.x;
for (int i=1;i<=m;i++)
e[i].v=1LL*e[i].c*y+1LL*e[i].t*x;
Point p=Kruscal();
if (Cross(p,a,b)>=0) return;
Solve(a,p);
Solve(p,b);
}
int main()
{
ans.x=1e9,ans.y=1e9;
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=m;i++)
scanf("%d%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].c,&e[i].t),
e[i].x++,e[i].y++,e[i].v=e[i].c;
A=Kruscal();
for (int i=1;i<=m;i++)
e[i].v=e[i].t;
B=Kruscal();
Solve(A,B);
printf("%lld %lld\n",ans.x,ans.y);
return 0;
}
