1. 正规扩域

　　在研究域\(F\)的代数扩张\(E\)时，首要的前提是扩域\(E\)是存在的，其次还要让所有扩域在同一个空间，即它们之间是可运算的。满足这样条件的空间便是\(F\)的代数闭包，使用集合论的语言，代数闭包可以描述成所有多项式的分裂域之并。这个定义合法性其实还是需要推敲的，你可以结合代数扩域的性质自行讨论，这里就先假定它的存在性。其次，不同的闭包之间并不一定是互通的，下面的讨论将回避这种“平行世界”的讨论，将范围限制在某个选定的代数闭包\(\Omega\)中。

　　即使只在某个闭包中，满足特定条件的扩域总也有多种选择的方法，这种将域对应到闭包中的映射一般称为域的嵌入，不同的嵌入之间称为共轭域。它不仅给域找到了统一的闭包，还是研究扩域结构的重要方法（共轭域当然都保持\(F\)完全不变）。在前面构造单扩域时，你可能已经发现，构造出的扩域其实与根的选取无关，它们互为共轭域。如果将单扩域嵌入到闭域中，每一种嵌入方法正好对应\(f(x)\)的一个根，这些共轭域之间可能有互异元素，也可能元素相同但嵌入的方法不同。

　　以上出现互异元素是因为，可能不是所有根都在同一个单扩域中，我们自然要问：那么不同的分裂域嵌入还会有互异元素吗？更一般地，考察多项式集合\(S\subseteq F[x]\)的分裂域\(E\)，假设\(E\)同构于另一个分裂域\(E‘\)且同构映射为\(\sigma\)。因为任何\(f(x)=(x-a_1)\cdots (x-a_n)\in S\)的系数在\(F\)中，所以总有\(\sigma(f(x))=f(x)\)，所以\((\sigma(a_1),\cdots,\sigma(a_n))\)只是\((a_1,\cdots,a_n)\)的一个置换。由此若设\(S\)的所有根为\(R\)，则有以下推导过程，也就是说\(E‘\)是\(E\)的自同构。

\[E‘=\sigma(E)=\sigma(F(R))=F(\sigma(R))=F(R)=E\tag{1}\]

　　只有自同构共轭的域叫自共轭域，像分裂域这种保持\(F\)不变的域被称为\(F\)-自共轭域。以上结论证明了：多项式集合的分裂域是自共轭域。容易证明自同构和\(F\)-自同构都形成群，其中自同构群记作\(\text{Aut}(E)\)，\(F\)-自同构群又叫伽罗瓦群，一般记作\(\text{Gal}(E/F)\)，这个群将是我们研究的重点。如果\(E\)是\(f(x)\)在\(F\)上的分裂域，\(\text{Gal}(E/F)\)也叫多项式\(f(x)\)的伽罗瓦群，记作\(\text{Gal}(f)\)或\(\text{Gal}(f,F)\)。

　　• 证明\(\Bbb{Z},\Bbb{Q},\Bbb{R}\)只有恒等自同构，而\(\Bbb{C}\)的自同构有无穷多个。

　　\(F\)-自共轭域体现了扩域的唯一性，而另外我们知道，代数扩域可以从任何代数元的单扩域开始。考察\(F\)-自共轭的扩域\(E\)中任意不可约多项式\(f(x)\)，如果它在\(E\)上有一个根\(a\)，则\(E\)可以从\(F(a)\)开始生成。前面的讨论中已知，它共轭于一个从\(F(a‘)\)生成的扩域（\(a‘\)为\(f(x)\)的另外一个根），由\(F\)-自共轭域的唯一性可知\(a‘\in E\)，故\(f(x)\)在\(E\)中是分裂的。对任意不可约多项式\(f(x)\in F[x]\)，若它有根在扩域\(E\)中，必能得出其它根也在\(E\)中，这种扩域叫正规扩域（要注意，若\(f(x)\)在\(E\)没有根，并不意味\(f(x)\)在\(E\)中不可分解）。刚才的结论就是说\(F\)-自共轭域是正规扩域，还容易证明正规扩域可以看成是其所有可分裂多项式的生成域，结合前面的结论，以下三个命题是等价的（\(E\)为\(F\)的代数扩域）。

　　（1）\(E\)是\(F\)的正规扩张；

　　（2）\(E\)是\(F[x]\)中某个多项式集合的分裂域；

　　（3）\(E\)是\(F\)-自共轭域。

　　特别地，若扩张为有限扩张，则第二个命题可以改成某个多项式的分裂域。通过这些等价定义容易证明，正规扩张的交也是正规扩张。所有包含\(E\)的正规扩张的交被称为正规闭包，对有限扩张容易证明，生成元的最小多项式集合的分裂域便是正规闭包（以上可以作为练习）。

2. 伽罗瓦理论

2.1 伽罗瓦群和固定子域

　　前面提到过，\(F\)-自同构群是自同构群\(\text{Aut}(E)\)的子群，不同的子域\(F\)对应于不同的子群。这就提醒我们去研究这两者的关联，但要注意这里有两种关联方法，一种是由\(F\)确定伽罗瓦群\(\text{Gal}(E/F)\)，另一种则是由\(\text{Aut}(E)\)的子群\(G\)确定一个子域\(\text{Inv}(G)\)，它被称为\(G\)的固定子域。这两个映射不一定是相同的，至少还需要一些条件，这将是本节的重点。

\[\text{Inv}(G)=\{a\in E\mid \sigma\in G\Rightarrow\sigma(a)=a\}\tag{2}\]

　　先来看看这些映射的基本性质，首先比较显然，映射的像的包含关系都和原像的包含关系相反（公式（3），以下将\(\text{Gal}(E/F)\)简写为\(\text{Gal}(F)\)）。另外也很容易证明，两种映射的复合将原像的范围放大了（公式（4））。对于像这样的复合运算，分别采用和两个视角，结合前面两个包含关系便容易得到复合运算的“消去律”（公式（5））。这些基本性质在下面的讨论中非常重要，你需要熟记于心并不产生混淆。

\[G_1\subseteq G_2\Leftrightarrow\text{Inv}(G_1)\supseteq\text{Inv}(G_2),\quad F_1\subseteq F_2\Leftrightarrow\text{Gal}(F_1)\supseteq\text{Gal}(F_2)\tag{3}\]

\[F\subseteq\text{Inv}\circ\text{Gal}(F),\quad G\subseteq \text{Gal}\circ\text{Inv}(G)\tag{4}\]

\[\text{Gal}\circ\text{Inv}\circ\text{Gal}(F)=\text{Gal}(F),\quad \text{Inv}\circ\text{Gal}\circ\text{Inv}(G)=\text{Inv}(G)\tag{5}\]

2.2 伽罗瓦扩张和Artin定理

　　为了研究自同构子群和子域的关系，我们需要先对它们的特点做进一步研究。先来考察伽罗瓦群\(\text{Gal}(E/F)\)，它的每个元素是一个\(F\)-自同构，群的阶就是自同构的个数。对有限扩域有\(E=F(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)，所有的嵌入都可以拆分为一系列单扩域\(f(a_1,\cdots,a_{k-1})(a_k)\)的嵌入。之前的结论告诉我们，每个单扩域嵌入的个数\(c_k\)不大于\(a_k\)最小多项式\(f(x)\)的次数\(d_k=[F(a_1,\cdots,a_k):F(a_1,\cdots,a_{k-1})]\)，相等的条件是\(f(x)\)没有重根。如果还要求是自同构嵌入，则还要求\(f(x)\)的根都在\(E\)中。

　　总嵌入的个数自然是\(\prod c_k\leqslant\prod d_k=[E:F]\)，伽罗瓦群的个数不大于总嵌入数，相等的条件是\(E\)是正规扩域。总结以上讨论便有公式（6）成立，而且等号的成立的一个充分条件是：\(E\)既是正规扩域，又是可离扩域。这种可离正规扩张被称为伽罗瓦扩张，当然我们仅关注有限伽罗瓦扩张。

\[\left|\text{Gal}(E/F)\right|\leqslant[E:F]\tag{6}\]

　　现在反过来，对\(E\)自同构群的有限子群\(G\)，考察\(F=\text{Inv}(G)\)与\(E\)的关系。如果\(E\)对\(F\)是有限扩张，由公式和容易得到\(|G|\leqslant|\text{Gal}(F)|\leqslant[E:F]\)。对此Artin却给出了截然相反的结论，他证明了\([E:F]\leqslant|G|\)（这时\(E\)自然是\(F\)的有限扩张），结合这两点则恒有公式（7）成立。证明过程充分利用了扩域和自同构的性质，可以作为一个很好的例题示范，下面就来介绍其大致思路。

\[|G|=[E:\text{Inv}(G)]\tag{7}\]

　　设\(n=|G|\)，先来考察扩域\(E\)在\(F\)上的线性空间的维数，如果维数有限，取\(m\)大于该维数，则\(E\)中任何\(m\)个元素\(a_i\)都是线性相关的。精确一点描述便是，线性方程\(\sum\limits_{i=1}^m{a_ix_i}=0,(a_i\in E)\)在\(F\)上总有非零解，现在我们就来证明\(m>n\)时方程有解。为了联系上\(G\)，设它的\(n\)个元素是\(\{\sigma_j\}\)，原方程等价于方程组\(\sum{\sigma_j(a_ix_i)}=\sum{\sigma_j(a_i)x_i}=0\)在\(F\)上有解。由于\(m>n\)，该方程组在\(E\)中必定有非零解，我们需要由此构造出\(F\)上的解。

　　将任意\(\sigma_k\)作用在方程组上得\(\sum{\sigma_k\sigma_j(a_i)\sigma_k(x_i)}=0\)，由于\((\sigma_k\sigma_1,\cdots,\sigma_k\sigma_n)\)只是\((\sigma_1,\cdots,\sigma_n)\)的一个置换，方程组除了顺序没有发生变化，故\((\sigma_k(x_1),\cdots,(\sigma_k(x_m))\)也是是原方程组的解。因为\((x_1,\cdots,x_m)\)非零，可设\(x_1\ne 0\)，则\(\bar{x}=(1,x‘_2=\dfrac{x_2}{x_1},\cdots,x‘_m=\dfrac{x_m}{x_1})\)也是方程组的解。若\(x‘_i\in F\)都成立，我们的结论得证。否则设\(x‘_2\not\in F\)，这就是说存在\(\sigma_k\)使得\(\sigma_k(x‘_2)\ne x‘_2\)。由于\((1,\sigma_k(x‘_2),\cdots,\sigma_k(x‘_m))\)也是方程组的根，与\(\bar{x}\)相减便得另一个非零解\((0,x‘_2-\sigma_k(x‘_2),\cdots)\)，其中非零的元素个数比\(\bar{x}\)少。这个过程只能进行有限步，最终必定可以得到\(F\)上的非零解，Artin定理得证。

　　• \(K\)为\(F\)的扩域，\(f(x)\in F[x]\)，求证：\(\text{Gal}(f,F)\leqslant \text{Gal}(f,K)\)。

2.3 伽罗瓦理论

　　有了公式（6）和（7），现在回来讨论自同构子群和子域的关系，由于公式（6）等号成立的一个充分条件是伽罗瓦扩张，而伽罗瓦扩张不能处处成立，所以我们把研究限定在某个伽罗瓦扩张中。子域\(F\)对应一个它的伽罗瓦域\(G=\text{Gal}(E/F)\)，反之\(G\)又对应到它的固定子域\(F‘=\text{Inv}(G)\)。现在来比较\([E:F]\)和\([E:F‘]\)，根据公式和分别有\([E:F]=|G|\)和\([E:F‘]=|G|\)，而公式说明\(F\subseteq F‘\)，所以有\(F=F‘\)，子域和自同构子群在有限伽罗瓦扩张上建立了对应。

　　若设\(E,F\)的所有中间域\(F\leqslant F‘\leqslant E\)组成集合\(\Sigma\)，容易证明\(E\)对\(\Sigma\)中的所有元素都是有限伽罗瓦扩张。若设\(G\)的所有子群构成集合\(\Gamma\)，则以上结论则建立了从\(\Sigma\)到\(\Gamma\)的单射\(\varphi\)，它满足公式（8）。反之对任何\(G‘\in\Gamma\)，首先有\(|G‘|=[E:\text{Inv}(G‘)]\)，而由公式（6）得\(|\text{Gal}\circ\text{Inv}(G‘)|=[E:\text{Inv}(G‘)]\)，所以有\(G‘=\text{Gal}\circ\text{Inv}(G‘)=\varphi(\text{Inv}(G‘))\)。这就说明了\(\varphi\)是满射，从而便是一一映射，所有\(\Sigma\)和\(\Gamma\)之间存在一一映射，满足公式（8）。

\[\varphi(F‘)=\text{Gal}(E/F‘),\quad\varphi^{-1}(G‘)=\text{Inv}(G‘)\tag{8}\]

　　根据\(\varphi\)的定义，容易有公式（9）成立，其中\(\cup\)表示生成群（域）。另外，由于\([E:F]=|G|,[E:F‘]=|G‘|\)，则\([F‘:F]=[G:G‘]\)（后者表示子群的指数）。看到这个式子，你可能会问一个问题：\(F‘\)是伽罗瓦扩域与\(G‘\)是正规子群之间是不是有什么关联？容易验证，对任何\(\sigma\in G\)，\(\sigma G‘\sigma^{-1}\)在映射\(\varphi\)中的原像为\(\sigma(F‘)\)。所以\(G‘\)为正规子群的等价条件是\(\sigma(F‘)=F‘\)，即\(F‘\)为正规扩域，再由\(F‘\)显然是分离扩域，故\(G‘\)为正规子群的等价条件是\(F‘\)为伽罗瓦扩域。

\[F_1\cap F_2=\text{Inv}(G_1\cup G_2),\quad F_1\cup F_2=\text{Inv}(G_1\cap G_2)\tag{9}\]

　　进一步地，设\(H=\text{Gal}(F‘/F)\)，构造同态映射\(\eta:H\to G\)，使得\(\sigma=\eta(h)\)满足\(\sigma(F‘)=F‘\)，显然同态核为\(G‘\)，从而\(H\)与\(G/G‘\)同构（公式（10））。

\[\text{Gal}(F‘/F)\cong G/G‘\tag{10}\]

3. 经典应用

3.1 正多边形作图

　　正多边形作图同“三大作图难题”一样古老且著名，有时候它们一起并称为“四大作图难题”。首先容易证明，如果\(p,q\)互质且正\(p,q\)边形都可以作出，那么正\(pq\)边形也可以作出。根据算术基本定理，\(n=2^{e}p_1^{e_1}\cdots p_m^{e_m}\)，而正\(2^e\)边形很容易作出，所以只需研究正\(p_k^{e_k}\)边形的作图。

　　高斯在20岁时作出了正\(17\)边形，并给出了正\(m\)边形可作图的充要条件，这里我们用域的语言重新描述一下论证思路。要想作正\(p_s\)边形，其实就是作出\(f(x)\)的根\(\omega\)（式（11））。显然\(\omega\)是\(f(x)\)分裂域的生成元，即\(E=\Bbb{Q}(\omega)\)。上一节的作图理论中我们知道，\(\omega\)可被作图的充要条件是：\([E:\Bbb{Q}]=2^t\)。

\[f(x)=x^{p^s}-1,\quad\omega=e^{\frac{2\pi}{p^s}i}\tag{11}\]

　　由于\(E\)是一个分裂域，它是伽罗瓦扩张，所以有\([E:\Bbb{Q}]=\text{Gal}(E/\Bbb{Q})\)。\(E\)的\(\Bbb{Q}\)-自同构\(\sigma\)由\(\sigma(\omega)\)唯一确定，\(\sigma(\omega)\)只能取\(\omega^{k}\)，其中\((k,p^s)=1\)。由初等数论的知识，\(k\)可取\(\varphi(p^s)=p^{s-1}(p-1)\)个数，所以\(2^t=p^{s-1}(p-1)\)。首先有\(s=1\)，再由初等数论的知识，必须有\(t=2^n\)，且\(2^{2^n}+1\)为素数。

　　满足形式（12）的数叫费马数，以上结论就是说\(p^s\)边形可作图的充要条件是：\(s=1\)且\(p\)为费马素数。那么\(n\)边形可作图的条件就是式子（13），其中\(p_k\)为互异的费马素数。前\(5\)个费马数恰好是素数，费马当时断言所有费马数都是素数，但至今都还没有找到第\(6\)个费马素数。

\[F_n=2^{2^n}+1\quad (F_0=3,\,F_1=5,\,F_2=17,\,F_3=257,\,F_4=65537,\,\cdots)\tag{12}\]

\[m=2^sp_1p_2\cdots p_n,\:(n\geqslant 0)\tag{13}\]

3.2 多项式的求根

　　多项式求根是古代代数的重要内容，早在公元前的古巴比伦，人们就已经掌握了二次的方程的求根。而文艺复兴时期的意大利人，则给出了求解三、四次方程的一般方法和公式，主要的思想都是降次法。对于三次方程，先通过简单的代换\(y=x+\dfrac{a}{3}\)消除二次项（式（14）），然后利用立方和公式的形式特点将\(y\)参数化\(y=\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n}\)。由于\(m,n\)可以连续变化，再添加限制条件\(3\sqrt[3]{mn}=p\)，带入式便将原方程等价于较简单的方程组（15）。

\[x^3+ax^2+bx+c=0\:\Rightarrow\: y^3=py+q\tag{14}\]

\[mn=(\dfrac{p}{3})^3,\quad m+n=q\tag{15}\]

　　对于四次方程同样使用\(y=x+\dfrac{a}{4}\)消除三次项，然后引入参数\(t\)并配方（式（16））。找到合适的\(t\)使方程右侧可配方，这样四次方程就降为了二次方程。而配方成立时\(t\)满足一个三次方程，上面已经给出了它的求解方法，这样四次方程也成功求解。三、四次方程的完整公式十分复杂，这里就不给出了（也没必要）。

\[x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\:\Rightarrow\: (y^2+t)^2=(2t+p)y^2+qy+(t^2+r)\tag{16}\]

　　当人们迫不及待地向一般五次方程进军时，却发现无论如何都找不到求解公式。所谓“公式”就是四则运算和开方组成的表达式，为了利用扩域的理论，这里需要为开方定义一种的扩域。设\(a\in F\)，代数闭包中\(x^n=a\)的任一根记作\(\sqrt[n]{a}\)，单扩域\(F(\sqrt[n]{a})\)称为根式扩张。多项式的根如果可用“公式”表示，就表示存在一个根式扩张链（式（17）），它们可包含分裂域\(E\)。这样的多项式称为是根式可解的，我们问题就是：什么样的多项式根式求解？

\[F=F_0\leqslant F_1\leqslant\cdots\leqslant F_n=K,\quad E\subseteq K\tag{17}\]

　　我们先对根式扩张作一些常规讨论，为下面的论证提供有用的工具，以下讨论默认扩域可离，所以分裂域都是伽罗瓦扩域。先来考虑方程\(x^n=1\)，它的根称为\(n\)次单位根。在复数域中，所有单位根组成一个循环群，其中的生成元称为\(n\)次本原根（\(\omega\)）。其实这个结论在一般域中也成立，因为\(n=\prod{p_k^{e_k}}\)，所以我们只需找到\(p^e\)次本原根即可。容易证明\((x^{p^e}-1)/(x^{p^{e-1}}-1)=0\)的根就是本原根，这样\(x^n-1\)的分裂域其实就是\(E=F(\omega)\)。

　　\(F(\omega)\)伽罗瓦群的每个元素由\(\sigma(\omega)=\omega^l,(l,n)=1\)唯一确定，且有到\(Z_n^{*}\)的单同态映射，所以是一个交换群，这样的扩张称为阿贝尔扩张。对于\(x^n=a\)的根\(d=\sqrt[n]{a}\)，易知\(d\omega^k\)也是方程的根。为了同样使用单扩域表示分离域，事先假定\(\omega\in F\)，故\(x^n-a\)的分裂域为\(F(d)\)。\(F(d)\)伽罗瓦群的每个元素由\(\sigma(d)=d\omega^l,(l,n)=1\)唯一确定，且有到\(Z_n^{+}\)的单同态映射，所以是一个循环群，这样的扩张称为循环扩张。

　　把目光专注在根式扩张\(F(d=\sqrt[p]{a})\)上，以上结论说明，当\(\omega\in F,d\not\in F\)时\(\text{Gal}(F(d)/F)\)为\(p\)阶循环群。反之若\(\text{Gal}(E)\)为\(p\)阶循环群\(\left\langle\sigma\right\rangle\)，取任一\(c\in E-F\)，记\(c_k=\sigma^k(c)\)，构造如下\(d_k\)（式（18））。把它们看成是\(c_0,c_1,\cdots,c_{p-1}\)的方程组，由于范德蒙行列式（参考线性代数）非零，必有某个\(d=d_k\not\in F\)。另外可以验证\(\sigma(d^p)=\sigma(d)^p=(\omega^{-1}d)^p=d^p\)，故由伽罗瓦理论知\(d^p\in F\)，所以\(E\)为根式扩张。总结以上便是，若\(\omega\in F\)，则根式扩张等价于\(p\)阶循环扩张。

\[d_k=c_0+c_1\omega^k+c_2\omega^{2k}+\cdots+c_{p-1}\omega^{(p-1)k},\quad k=0,1,\cdots,p-1\tag{18}\]

　　现在就来讨论什么样的多项式是根式可解的，根式可解表示有根式扩张链\(F=F_0\leqslant\cdots\leqslant F_n=K\)。为了用上伽罗瓦理论，可以将其它根都添加到扩张链中，可以假设\(K\)已经是伽罗瓦扩张。为了使用上面的结论，令所有根数\(m_k\)的最小公倍数为\(m\)且\(m\)次本原根为\(\omega\)，将链表中的每个扩域进行单扩张\(F‘_k=F_k(\omega)\)，显然\(m_k\)次本原根也在\(F\)中。新扩张链（式（19））的每一步都是伽罗瓦扩张，根据伽罗瓦理论知所有伽罗瓦群形成一个正规群列。又因为每个伽罗瓦群都是交换群，故\(\text{Gal}(K(\omega),F)\)为可解群，所以子群\(\text{Gal}(E,F)\)也是可解群。

\[F\leqslant F‘_0\leqslant F‘_1\leqslant\cdots\leqslant F‘_n=K(\omega)\tag{19}\]

　　反之若\(\text{Gal}(E,F)\)是可解群，取\([E:F]\)次本原根\(\omega\)，由前面的习题知\(\text{Gal}(E(\omega)/F(\omega))\)是\(\text{Gal}(E/F)\)的子群，故也是可解群。根据伽罗瓦理论知存在\(F(\omega)\)到\(E(\omega)\)伽罗瓦扩张链，每个扩张的伽罗瓦群都是素数阶循环群。再由上面的习题知每个伽罗瓦扩张的阶\(m_k\)都是\([E:F]\)的因子，故\(m_k\)阶本原根在\(F(\omega)\)中，所以每个扩张为根式扩张。由于\(F(\omega)\)也是根式扩张，故\(E(\omega)\)可由\(F\)根式扩张而来，所以方程根式可解。

　　这就得到了伽罗瓦的天才的结论：多项式有根式解的充要条件是，它的伽罗瓦群为可解群。这个结论可以应用到任何一个具体的多项式，但方程的“公式”解其实是讨论参数化的一般多项式\(f(x)\)（式（20）），其中\(t_k\)是不定元。方程的不变域是\(F=\Bbb{Q}(t_1,t_2,\cdots,t_n)\)，而我们需要判断\(f(x)\)在\(F\)的伽罗瓦群是否可解。由于\(t_k\)可由\(y_k\)用基本不等式表示，故分裂域\(F(y_1,y_2,\cdots,y_n)=\Bbb{Q}(y_1,y_2,\cdots,y_n)\)。

\[f(x)=x^n-t_1x^{n-1}+t_2x^{n-2}+\cdots+(-1)^nt_n,\quad t_k=\sigma_k(y_1,y_2,\cdots,y_n)\tag{20}\]

\[g(x)=x^n-p_1x^{n-1}+p_2x^{n-2}+\cdots+(-1)^np_n,\quad p_k=\sigma_k(x_1,x_2,\cdots,x_n)\tag{21}\]

　　但由于\(y_k\)的值和相互关系是从\(t_k\)得来，\(f(x)\)的伽罗瓦群并不好分析。我们更希望\(y_k\)是独立的不变元，为此我们用不定元\(x_k\)建立多项式\(g(x)\)（式（21）），其系数\(p_k\)为\(x_k\)的基本不等式（\(p_k\)不是不定元）。同样可有这个方程的不变域为\(\Bbb{Q}(p_1,p_2,\cdots,p_n)\)，扩域为\(\Bbb{Q}(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)。可以论证（略去）这两个多项式的伽罗瓦群是同构的（式（22）），而后者同构于\(S_n\)（\(x_k\)为不定元），所以\(f(x)\)有\(n\)个不同的根。再由于\(n\geqslant 5\)时，\(S_n\)不是可解群，故\(f(x)\)不能公式求解。

\[\Bbb{Q}(y_1,y_2,\cdots,y_n)/\Bbb{Q}(t_1,t_2,\cdots,t_n)\cong \Bbb{Q}(x_1,x_2,\cdots,x_n)/\Bbb{Q}(p_1,p_2,\cdots,p_n)\tag{22}\]

　　至此，我们介绍完了抽象代数的基本概念，但这些仅仅是抽象代数的热身运动。作为近代数学的基石，它有着十分广博的内容和无限的智慧，学习它的最终目的，是锻炼我们的抽象思维和科学的数学观。带着这样的熏陶去学习别的科目，你会有不一样的高度，对事物的认识不再浮于表面。抽象代数是一个基础方法，它还有更多生动且深入的内容，有空我还会继续潜读各个分支的内容。