warning:个人笔记与习题解答,相信有很多错误
这一章全是各种逻辑推理,看完以后确实对集合论有了一定了解,了解了一些推理过程。习题也真多,所以分成1-3和4-6。
3.4 象和逆象
定义3.4.1
为什么根据替换公理,f(S)是明确定义了的
替换公理中,定义P(x,y)为{y:?x∈S使得f(x)=y},这样选出的集合就是f(S)
如何根据分类公理来定义f(S)
分类公理中,定义f(S)为{y∈Y:?x∈X使得f(x)=y}
为什么
y∈f(S)<=>?x∈S,y=f(x)
感觉这就是象的定义,不明白作者为什么加了个为什么
例3.4.5的为什么
等号左边等于{2}!={1,2,3}
例3.4.6的为什么
等号左边等于{-2,-1,0,1,2}!={-1,0,1,2}
注3.4.7说得对于双射的两种定义逆函数的方式见习题的说明:
V在f?1 的前象
V在f下的逆象
3.10幂集公理元素数量为YX,因为对于X中的每个元素,对应的函数值可能性等于Y的元素数量
为什么指标集是空的则集合为空?
因为没有任何集族
习题
3.4.1
f?1(y)=x
V在f?1 下的前象
{x:?y∈Y,使得f?1(y)=x}
V在f下的逆象
{x:f(x)∈V}
对于双射函数,上面两个集合相同。
3.4.2
S?f?1(f(S))
f(f?1(U))=U
,因为对于X中每个元素,Y中只有1个元素与其对应,对与Y中元素,X中可能有多个
3.4.3
根据3.4.1象的定义证明
f(A∩B):={f(x):x∈A∩B}
。上面的集合即属于{f(x):x∈A} 也包含于{f(x):x∈B}。证明完毕,等于不成立,考虑A:{0,1}, B:{1,2},f: 0->5 1->6 2->5。
对于
f(A)?f(B)?f(A?B)
考虑
f(A):={f(x):x∈A}
f(B):={f(x):x∈B}
f(A?B):={f(x):x∈A?B}
y∈f(A)?f(B)则对于A中某个x满足y=f(x),并且B中所有x都有y!=f(x)
z∈f(A?B)则存在某个属于A但不属于B的元素x满足f(x)=z。等号不成立,同样考虑上面的例子A:{0,1}, B:{1,2},f: 0->5 1->6 2->5。
f(A∪B)=f(A)∪f(B)两个集合都为{f(x):x∈A or x∈B}
3.4.4
f?1(U∪V)={x∈X:f(x)∈U∪V}=
{x∈X:f(x)∈U}∪{x∈X:f(x)∈V}=f?1(U)∪f?1(V)
其它两个证明类似
3.4.5如果f是满射,则对于每一个y∈Y,都存在x=f?1(y)∈X,显然f(f?1(y))=y。
如果对于每个y∈S满足f(f?1(y))=y,显然存在x=f?1(y)∈X满足f(x)=y,这就是满射的定义。
后面的证明类似。
3.4.6
设Y?X,定义函数f:X->{0, 1},如果对X中x定义f(x)=1,x∈Y,否则f(x)=0,这样X的一个子集对应一个函数,根据幂集公理,所有函数为一个集合,这样所有子集也就是一个集合,具体定义方式如下:
根据幂集公理,{0,1}X是一个集合,记为A,设f∈A,对f记Bf=f?1({1})为一个集合,应用替换公理,所有Bf的集合为一个集合。
3.4.7
根据3.4.6,所有X的子集构成一个集合A,所有Y的自己构成一个集合B,对于A中任意一个元素x,B中任意一个元素y,x和y都是集合,根据幂集公理,x为定义域,y为值域构成的所有函数构成一个集合C,同样根据幂集公理,所有x和y为元素的集合也可以组成集合(这个如果推理起来感觉比较麻烦,比如3.5.1,如果能用笛卡尔乘积就简单些),记为D。这样,对于D中某个元素,即某个确定的的x和y,利用替换公理可以将其替换为C中的元素,再对D运用并公理,得到的函数集合就是从X到Y的全体部分函数组成的集合。
3.4.8 并公理和双元素集公理蕴含双并公理
考虑两个集合A和B,根据双元素集公理,存在集合S={A, B},
对S使用并公理,则
x∈∪S=x∈A或者x∈B
,这就是公理3.4中定义的双并。
3.4.9
等号两边都等于
{x∈Aβ∩Aβ′:对于一切α∈I,x∈Aα}
对于3.4则是显然的
3.4.10
(∪α∈IAα)∪(∪α∈JAα)={Aα:αinI∪J}=∪α∈I∪JAα
后一半同理
3.4.11
第一个等式两边集合的元素都满足:属于X,但不属于任何Aα
第二个等式两边集合的元素都满足:属于X,但不属于某个Aα