BNU 34975 剪纸 折线划分平面问题 大数模拟+规律

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最多的情况就是每个直线和当前平面的所有直线都相交

设当前有x根直线

则加入一个type0的直线就能产生 x个交点，两个交点间的线段可以把一个平面划分成2个

就能增加x + 1个平面

再推广 若加入typeY 的直线

先让Y++，表示加入直线的根数

就能增加 (x + 1) * Y -  (Y-1)

加完后 平面上的直线数就增加了Y ：即 x+=Y

所以每次加入 X 根 Y类型的直线

则答案增加的情况就是：

Y++;

ans += (x +1) *Y - (Y-1)

ans += (x +1 + Y) * Y - (Y-1)

·

·

·

ans += (x+1 + (X-1)*Y) * Y - (Y-1)

然后化简一下就是

ans += x*Y +1

ans += (x+Y)*Y+1

·

·

·

ans+=(x+(X-1)*Y) *Y +1

发现ans一共加了 X 个1 然后第一部分是 Y * (等差数列）

再化简成

ans += X + Y*( ( x + x+(X-1)*Y ) * X / 2);

这样我们就能O(1) 算出 每增加一次 答案的增值

但是这里取模会出现问题

/2 的情况逆元可能不存在，

但能保证 ( x + x+(X-1)*Y ) * X 一定是偶数，所以用个大数直接进行运算。

import java.math.*;
import java.util.*;
import java.io.*;
public class Main {
    static BigInteger x1 = new BigInteger("1");
    static BigInteger x2 = new BigInteger("2");
    public void work() {
        int T;
        T = cin.nextInt();
        while (T-- > 0) {
            int n = cin.nextInt();
            long mod = cin.nextLong();
            long x = 0;
            long ans = 1 % mod;
            while(n-->0)
            {
                long X = cin.nextLong(), Y = cin.nextLong();
                Y++;
                BigInteger now = BigInteger.valueOf(2*x + (X-1)*Y);
                now = now.multiply(BigInteger.valueOf(X));
                now = now.divide(BigInteger.valueOf(2));
                now = now.mod(BigInteger.valueOf(mod));
                long tmp = now.longValue();
                tmp *= Y; tmp%=mod;
                tmp += X; tmp%=mod;
                ans += tmp; ans %= mod;
                x += X*Y%mod;
                x %=mod;
            }
            ans = ans % mod;
            System.out.println(ans);
        }
    }
    Main() {
        cin = new Scanner(System.in);
    }
    public static void main(String[] args) {
        Main e = new Main();
        e.work();
    }
    public Scanner cin;
}

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