最小二乘法多项式曲线拟合原理与实现（转）

概念

最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。

原理

[原理部分由个人根据互联网上的资料进行总结，希望对大家能有用]

给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。

常见的曲线拟合方法:

1.使偏差绝对值之和最小

2.使偏差绝对值最大的最小

3.使偏差平方和最小

按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

推导过程：

1. 设拟合多项式为：

2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：

3. 为了求得符合条件的a值，对等式右边求ai偏导数，因而我们得到了：

.......

4. 将等式左边进行一下化简，然后应该可以得到下面的等式：

.......

5. 把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：

6. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:

7. 也就是说X*A=Y，那么A = (X‘*X)-1*X‘*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。

实现

运行前提:

1. Python运行环境与编辑环境；
2. Matplotlib.pyplot图形库，可用于快速绘制2D图表，与matlab中的plot命令类似，而且用法也基本相同。

代码:

[python] view plain copy

1. # coding=utf-8
2. ‘‘‘‘‘
3. 作者:Jairus Chan
4. 程序:多项式曲线拟合算法
5. ‘‘‘
6. import matplotlib.pyplot as plt
7. import math
8. import numpy
9. import random
10. fig = plt.figure()
11. ax = fig.add_subplot(111)
12. #阶数为9阶
13. order=9
14. #生成曲线上的各个点
15. x = numpy.arange(-1,1,0.02)
16. y = [((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2) for a in x]
17. #ax.plot(x,y,color=‘r‘,linestyle=‘-‘,marker=‘‘)
18. #,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5"
19. #生成的曲线上的各个点偏移一下，并放入到xa,ya中去
20. i=0
21. xa=[]
22. ya=[]
23. for xx in x:
24. yy=y[i]
25. d=float(random.randint(60,140))/100
26. #ax.plot([xx*d],[yy*d],color=‘m‘,linestyle=‘‘,marker=‘.‘)
27. i+=1
28. xa.append(xx*d)
29. ya.append(yy*d)
30. ‘‘‘‘‘for i in range(0,5):
31. xx=float(random.randint(-100,100))/100
32. yy=float(random.randint(-60,60))/100
33. xa.append(xx)
34. ya.append(yy)‘‘‘
35. ax.plot(xa,ya,color=‘m‘,linestyle=‘‘,marker=‘.‘)
36. #进行曲线拟合
37. matA=[]
38. for i in range(0,order+1):
39. matA1=[]
40. for j in range(0,order+1):
41. tx=0.0
42. for k in range(0,len(xa)):
43. dx=1.0
44. for l in range(0,j+i):
45. dx=dx*xa[k]
46. tx+=dx
47. matA1.append(tx)
48. matA.append(matA1)
49. #print(len(xa))
50. #print(matA[0][0])
51. matA=numpy.array(matA)
52. matB=[]
53. for i in range(0,order+1):
54. ty=0.0
55. for k in range(0,len(xa)):
56. dy=1.0
57. for l in range(0,i):
58. dy=dy*xa[k]
59. ty+=ya[k]*dy
60. matB.append(ty)
61. matB=numpy.array(matB)
62. matAA=numpy.linalg.solve(matA,matB)
63. #画出拟合后的曲线
64. #print(matAA)
65. xxa= numpy.arange(-1,1.06,0.01)
66. yya=[]
67. for i in range(0,len(xxa)):
68. yy=0.0
69. for j in range(0,order+1):
70. dy=1.0
71. for k in range(0,j):
72. dy*=xxa[i]
73. dy*=matAA[j]
74. yy+=dy
75. yya.append(yy)
76. ax.plot(xxa,yya,color=‘g‘,linestyle=‘-‘,marker=‘‘)
77. ax.legend()
78. plt.show()

运行效果:

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