矩阵特征值与行列式、迹的关系

矩阵的特征值之和等于矩阵的行列式


矩阵的特征值之积等于矩阵的迹


简单的理解证明如下：

1、二次方程的韦达定理：


请思考：x^2+bx+c=0 这个方程的所有根的和等于多少、所有根的积等于多少

2、把二次方程推广到 N 次：


对一个一元n次方程，它的根记作


那么接下来可以类似地来思考：(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-n_N)=0
这个方程的所有根的和对应于等式左边展开后几次项的系数，所有根的积对应等式展开后几次项的系数。

说明：

已知一个一元五次方程：

根据高斯的代数原理：上式在复数范围内必可分解成的形式；且x1,
x2, x3, x4, x5是该多项式在复数范围内的根。


3、考虑矩阵的特征值问题


  • 设A为n阶方阵，考虑特征多项式|A-λI|的n-1次项，有矩阵 A
    的特征值方程：det(A-λI)=0（行列式展开式在这里不作说明，可以参考相关资料），我们可以发现，除了主对角元的乘积
    (λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann) 之外，其他展开项的次数都小于 n-1。因此 n-1 次项的系数就是
    (λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann) 中 λ^(n-1) 的系数，也就是-(a11+a22+...+ann)。
    特征值是特征多项式的根，由韦达定理（根与系数关系）知特征值的和 = a11+a22+...+ann。

4、参考文献：


http://www.zhihu.com/question/20533117

http://baike.baidu.com/view/1166.htm?fr=aladdin

矩阵特征值与行列式、迹的关系,布布扣,bubuko.com

时间： 2024-11-08 18:55:30

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定义:设A是n阶方阵,如果数λ和n维非零列向量x使关系式 Ax=λx  (1) 成立,那么这样的数λ称为矩阵A特征值,非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量．(1)式也可写成, ( A-λE)X=0 (2) 这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式 | A-λE|=0 , (3)

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特征值的条件数 Weilandt-Hoffman定理:设A与B是两个n阶正规矩阵,它们的特征值分别是li和mj,则存在一个排列p(n),使得 $\sqrt {\sum_i \left | \pi(i)-\lambda_i \right |^2}\leqslant \left \| B-A \right \|_F$ Weilandt-Hoffman定理表明Hermite矩阵和正规矩阵的特征值是良态的,因此在此主要讨论非正规矩阵对扰动的敏感程度的数据标准. 假定n阶方阵A的Jordan分解为Q-1A

2.9迹运算和行列式

迹运算返回的是矩阵对角元素的和: 迹运算提供另一种描述矩阵Frobenius范数的方式: 行列式记作:det(A),是一个将方阵A映射到实数的函数.行列式等于矩阵特征值的乘积.行列式的绝对值可以用来衡量矩阵参与矩阵乘法后空间扩大或者缩小了多少. 原文地址:https://www.cnblogs.com/firmgl/p/10997010.html