上一篇里，介绍了动态规划的“钢管切割”问题，这一次来看看“矩阵链乘法”。所谓矩阵链乘法就是一个或一个以上的矩阵连续相乘，这里主要关注的是乘法的次数。

一、概述

以两个矩阵相乘为例，A1*A2，A1和A2为两个矩阵，假设A1的行列数是p*q，A2的行列数是q*r。注意这里由于是A1乘以A2，所以A1的列数要等于A2的行数，否则无法做矩阵乘法，满足上述条件的矩阵，我们称之为“相容”的。那么对于A1*A2而言，我们需要分别执行p*r次对应A1的行元素乘以A2的列元素，根据线性代数知识，不难得出我们一共需要执行p*q*r次乘法。

对于两个矩阵相乘，一旦矩阵的大小确定下来了，那么所需执行的乘法次数就确定下来了。那么对于两个以上的矩阵呢？是不是也是这样呢。实际上，对于多个矩阵相乘，乘法执行的次数与“划分”有关。例如：

以矩阵链<A1,A2,A3>为例，假设三个矩阵的规模分别为10X100，100X5和5X50。

①以((A1*A2)*A3)方式划分，乘法执行次数为：10*100*5+10*5*50=5000+2500=7500次

②以(A1*(A2*A3))方式划分，乘法执行次数为：100*5*50+10*100*50=25000+50000=75000次

我们可以发现，对于同样的矩阵链<A1,A2,A3>相乘而言，不同的划分，乘法次数居然相差10倍。

二、如何获得最佳的矩阵链乘法划分和最少次数

其实这里与“钢管切割”有相似之处，在钢管切割问题中，我们使用一个一维数组来存储最佳收入，另一个一维数组来存储切割的划分处。

而这里，我们也可以将矩阵链看成一根要分割的“钢管”，只是这里记录的两个数组需要是二维的，因为我们需要记录的不仅是从哪里“断开”，还需要记录"每一段"到哪里截止。如下图：

使用一个长度为n+1的一维数组p来记录每个矩阵的规模，其中n为矩阵下标i的范围1~n，例如对于矩阵Ai而言，它的规模应该是p[i-1]到p[i]。由于i是从1到n取值，所以数组p的下标是从0到n。

用于存储最少乘法执行次数和最佳分段方式的结构是两个二维数组m和s，都是从1~n取值。m[i][j]记录矩阵链<Ai,Ai+1,...,Aj>的最少乘法执行次数，而s[i][j]则记录 最优质m[i][j]的分割点k。

需要注意的一点是当i=j时，m[i][j]=m[i][i]=0，因为一个矩阵不需要任何乘法。

假设矩阵链从Ai到Aj，有j-i+1个矩阵，我们从k处分开，将矩阵链分为Ai~Ak和Ak+1到Aj两块，那么我们可以比较容易的给出m[i][j]从k处分隔的公式：

m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]；

在一组确定的i和j值的情况下，要使m[i][j]的值最小，我们只要在所有的k取值中，i<=k<j，寻找一个让m[i][j]最小的值即可。

假设L为矩阵链的长度，那么L=j-i+1。当L=1时，只有一个矩阵，不需要计算。那么我们可以从L=2到n进行循环，对每个合理的i和j值的组合，遍历所有k值对应的m[i][j]值，将最小的一个记录下来，存储到m[i][j]中，并将对应的k存储到s[i][j]中，就得到了我们想要的结果。

根据上面的分析，不难给出过程的代码，注意这里也是使用的自底向上的方法，参看“钢管切割”：

//Ai矩阵的行列分别是p[i-1]和p[i],1<=i<=n

/*
 * 求解最少次数的乘法括号划分方案
 */
void Matrix_Chain(int* p, int n, int** m, int** s) {

	//①将对角线上的值先赋值为0
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		m[i][i] = 0;
	}

	int l = 0; //l为矩阵链的长度

	//m[i][j]的第一个参数
		int i = 0;

	//m[i][j]的第二个参数
	int j = 0;

	int tmp = 0;

	//②以长度L为划分，L从2开始到n
	for (l = 2; l <= n; l++) {

		//循环第一个参数，因为l的长度至少为2，所以i和j在这个循环里面肯定不相等
		for (i = 1; i <= n - l + 1; i++) {
			//因为j-i+1=l，所以j=l+i-1
			j = i + l - 1;

			//给m[i][j]赋初值，这里要寻找m[i][j]的最小值，本来应当给m[i][j]赋值一个正无穷，但是这里直接赋一个i=j时候的特值也可以
			m[i][j] = m[i][i] + m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];
			s[i][j] = i;

			//对于每个特定的i和j的组合，遍历此时所有的合适k值，k大于等于i小于j
			for (int k = i + 1; k < j; k++) { //这里k不能等于j，因为后面要m[k+1][j]，不然k+1就比j大了

				tmp = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];

				if (tmp < m[i][j]) {
					m[i][j] = tmp;
					s[i][j] = k;
				}
			}
		}
	}
}

经过上面的代码，我们就求得了每种i和j组合对应的最小乘法次数和对应的最佳分割处s[i][j]。

三、输出最优构造划分:

经过运行上面的代码，我们就准备好了s[i][j]，其中包含最佳分割信息。我们可以使用一种类似于中序遍历的方法来输出划分方式，比如对<A1,A2,A3,A4,A5>和他们对应的下标数组p而言。

void print_optimal_parens(int** s, int i, int j) {
	if (i == j) {
		cout << "A" << i;
	} else {
		cout << "(";
		print_optimal_parens(s, i, s[i][j]);
		print_optimal_parens(s, s[i][j] + 1, j);
		cout << ")";
	}
}

比如对于数组p={5,6,2,9,7,6}和<A1,A2,A3,A4,A5>经过上面两段代码的调用，输出划分结果：

((A1A2)((A3A4)A5))

最少乘法次数为：330次