【算法】
1.最大流
(1) 容量限制:对于∀u,v∈V ，要求 f (u,v) ≤ c(u,v)。
(2) 反对称性:对于∀u,v∈V ，要求 f (u,v) = − f (v,u)。
(3) 流量平衡:对于∀u∈V −{s,t}，要求∑f(u,v)=0。
dinic
- 根据残量网络计算层次图。
- 在层次图中使用DFS沿阻塞流(不考虑反向弧时的极大流 层次图中的)进行增广直到不存在增广路
- 重复以上步骤直到无法增广
int cur[N];
int vis[N],d[N],q[N],head,tail;
bool bfs(){
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(d,0,sizeof(d));
head=tail=1;
q[tail++]=s;d[s]=0;vis[s]=1;
while(head!=tail){
int u=q[head++];
for(int i=h[u];i;i=e[i].ne){
int v=e[i].v;
if(!vis[v]&&e[i].c>e[i].f){
vis[v]=1;d[v]=d[u]+1;
q[tail++]=v;
if(v==t) return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dfs(int u,int a){
if(u==t||a==0) return a;
int flow=0,f;
for(int &i=cur[u];i;i=e[i].ne){
int v=e[i].v;
if(d[v]==d[u]+1&&(f=dfs(v,min(a,e[i].c-e[i].f)))>0){
flow+=f;
e[i].f+=f;
e[((i-1)^1)+1].f-=f;
a-=f;
if(a==0) break;
}
}
return flow;
}
int dinic(){
int flow=0;
while(bfs()){
for(int i=s;i<=t;i++) cur[i]=h[i];
flow+=dfs(s,INF);
}
return flow;
}
2.最小割
最大流的对偶问题
流网络G =(V,E)的割(cut)[S,T]将点集V划分为S和T(T =V −S)两个部分，
使得源s∈S且汇t∈T。符号[S,T]代表一个边集合{ u,v | u,v ∈E,u∈S,v∈T}。
穿过割 [S,T]的净流(net flow)定义为 f (S,T)，割[S,T]的容量(capacity)定义为c(S,T)，一般 记为c[S,T]。
一个网络的最小割(minimum cut)也就是该网络中容量最小的割。
增广路算法结束时，所有还有流量(从s走)的点组成S，没有流量的点组成T
最大流的流量就是最小割的容量
3.最小费用最大流
(1)spfa费用流
用spfa找最短路来增广
保存pre[i]和pos[i]分别是最短路中的父节点和入边
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5005,M=5e4+5,INF=1e9;
int read(){
char c=getchar();int x=0,f=1;
while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1; c=getchar();}
while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘; c=getchar();}
return x*f;
}
int n,m,s,t,u,v,w,c;
struct edge{
int v,ne,c,f,w;
}e[M<<1];
int cnt,h[N];
inline void ins(int u,int v,int c,int w){
cnt++;
e[cnt].v=v;e[cnt].c=c;e[cnt].f=0;e[cnt].w=w;
e[cnt].ne=h[u];h[u]=cnt;
cnt++;
e[cnt].v=u;e[cnt].c=0;e[cnt].f=0;e[cnt].w=-w;
e[cnt].ne=h[v];h[v]=cnt;
}
int d[N],pre[N],pos[N],q[N],head=1,tail=1,inq[N];
inline void lop(int &x){if(x==N) x=1;else if(x==0) x=N-1;}
bool spfa(){
memset(d,127,sizeof(d));
d[s]=0;pre[t]=-1;
head=tail=1;
memset(inq,0,sizeof(inq));
q[tail++]=s;inq[s]=1;
while(head!=tail){
int u=q[head++];lop(head);inq[u]=0;
for(int i=h[u];i;i=e[i].ne){
int v=e[i].v,w=e[i].w;
if(d[v]>d[u]+w&&e[i].c>e[i].f){
d[v]=d[u]+w;
pre[v]=u;
pos[v]=i;
if(!inq[v]){
if(d[v]<d[q[head]]) head--,lop(head),q[head]=v;
else q[tail++]=v,lop(tail);
inq[v]=1;
}
}
}
}
return pre[t]==-1?0:1;
}
void mcmf(){
ll flow=0,cost=0;
while(spfa()){
int f=INF;
for(int i=t;i!=s;i=pre[i]) f=min(f,e[pos[i]].c-e[pos[i]].f);
flow+=f;
cost+=f*d[t];
for(int i=t;i!=s;i=pre[i]){
e[pos[i]].f+=f;
e[((pos[i]-1)^1)+1].f-=f;
}
}
printf("%lld %lld",flow,cost);
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
n=read();m=read();s=read();t=read();
for(int i=1;i<=m;i++){
u=read();v=read();c=read();w=read();
ins(u,v,c,w);
}
mcmf();
return 0;
}
(2)zkw费用流
http://www.artofproblemsolving.com/community/c1368h1020435
【建模】
1.公平分配问题
把X分配给Y，一个X有两个Y可选，让分配到最多的最少
二分图模型，X和Y构成二分图
二分最多最少值mid
s--1-->X--1-->Y--mid-->t
看maxflow==|X|
2.最大闭合子图
定义一个有向图G = (V,E)的闭合图(closure)10是该有向图的一个点集，且该点集的所 有出边都还指向该点集。即闭合图内的任意点的任意后继也一定在闭合图中。
在原图点集的基础上增加源s和汇t;
将原图每条有向边 u,v ∈E替换为容量为c(u,v)=∞的有向边u,v ∈EN;
增加连接源s到原图每个正权点v(wv >0)的有向边s,v ∈EN，容量为c(s,v)=wv;
增加连接原图每个负权点v(wv <0)到汇t的有向边v,t ∈EN，容量为c(v,t)=−wv
(这样下来两个边权都是正数)
s--点权-->正权点----INF----负权点--|点权|-->t
我们也可以简单的思考最小割，要么(1)把s-->正u割了，要么(2)把负v-->t割了
(1)相当于不选择这个u，他的后继就没必要选了，同时损失wu
(2)相当于选择了u，同时选择了他的后继v，所以损失wv
3.二分图最大匹配
s--1-->X--1-->Y--1-->t
4.最小路径覆盖问题
G 的最小路径覆盖是G 的所含路径条数最少的路径覆盖。
有点逆向思考的感觉最差情况所有的点都是一条路径两个点连起来的话就少一条路径一个点拆成入点X和出点Y，构成二分图，ans=n-最大匹配数
5.