数论(Primer)

几个重要需要记住的内容：

1.欧几里得定理（辗转相除法）

int gcd(int a, int b){
    return b==0?a:gcd(b, a%b);
}

2.扩展欧几里得（求ax+by = gcd(a,b)的特解)

void e_gcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y){
    if(b==0){
        x = 1; y = 0; d = a;
    }
    else{
        e_gcd(b, a%b, d, y, x);
        y-= x*(a/b);
    }
}

3.中国剩余定理

同余方程组

x ≡ a1(mod m1)

x ≡ a2(mod m2)

... ...

x ≡ ak(mod mk)

方程组所有的解的集合就是：

x1 = N1*a1 + N2*a2 + ... + Nk*ak

其中 Ni mod mi = 1，Ni = ai * ti , 可用欧几里得扩展定理求 ti. 其中M = m1*m2*m3····*mn;

    #include <iostream>
    using namespace std;
    //参数可为负数的扩展欧几里德定理
    void exOJLD(int a, int b, int &x, int &y){
        //根据欧几里德定理
        if(b == 0){//任意数与0的最大公约数为其本身。
            x = 1;
            y = 0;
        }else{
            int x1, y1;
            exOJLD(b, a%b, x1, y1);
            if(a*b < 0){//异号取反
                x = - y1;
                y = a/b*y1 - x1;
            }else{//同号
                x = y1;
                y = x1 - a/b* y1;
            }
        }
    }
    //剩余定理
    int calSYDL(int a[], int m[], int k){
        int N[k];//这个可以删除
        int mm = 1;//最小公倍数
        int result = 0;
        for(int i = 0; i < k; i++){
            mm *= m[i];
        }
        for(int j = 0; j < k; j++){
            int L, J;
            exOJLD(mm/m[j], -m[j], L, J);
            N[j] = m[j] * J + 1;//1
            N[j] = mm/m[j] * L;//2 【注】1和2这两个值应该是相等的。
            result += N[j]*a[j];
        }
        return (result % mm + mm) % mm;//落在(0, mm)之间，这么写是为了防止result初始为负数，本例中不可能为负可以直接 写成：return result%mm;即可。
    }  

    int main(){
        int a[3] = {2, 3, 2};
        int m[3] = {3, 5, 7};
        cout<<"结果:"<<calSYDL(a, m, 3)<<endl;
    }  

4.欧拉函数（求一个数前面的所有与这个数互质的数的个数）

Euler函数表达通式：euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

    //直接求解欧拉函数
    int euler(int n){ //返回euler(n)
         int res=n,a=n;
         for(int i=2;i*i<=a;i++){
             if(a%i==0){
                 res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
                 while(a%i==0) a/=i;
             }
         }
         if(a>1) res=res/a*(a-1);
         return res;
    }  

    //筛选法打欧拉函数表
    #define Max 1000001
    int euler[Max];
    void Init(){
         euler[1]=1;
         for(int i=2;i<Max;i++)
           euler[i]=i;
         for(int i=2;i<Max;i++)
            if(euler[i]==i)
               for(int j=i;j<Max;j+=i)
                  euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
    }